1) Determinar o fluxo do campo vetorial overrightarrow (F)(x,y,z)=(2x,2y,2z) através da superficie esférica x^2+y^2+z^2=9 e interior ao cone z=sqrt (x^2+y^2) com normal exterior. Rta: 54pi (2-sqrt (2))

Para determinar o fluxo do campo vetorial $\overrightarrow{F}(x,y,z) = (2x, 2y, 2z)$ através da superfície esférica $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ e interior ao cone $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ com normal exterior, podemos usar a fórmula do fluxo através de uma superfície fechada:<br /><br />$\iint_{S} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n} \, dS$<br /><br />Onde $\overrightarrow{n}$ é a normal à superfície $S$.<br /><br />Primeiro, vamos encontrar a normal à superfície esférica $x^2 + y^2 + z^2 = 9$. A derivada parcial em relação a $x$ nos dá $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 + z^2) = 2x + 2y \frac{\partial z}{\partial x} + 2z \frac{\partial z}{\partial x}$. Como $z = \sqrt{9 - x^2 - y^2}$, temos $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{9 - x^2 - y^2}}$. Portanto, $\overrightarrow{n} = \left(\frac{-x}{\sqrt{9 - x^2 - y^2}}, \frac{-y}{\sqrt{9 - x^2 - y^2}}, \frac{z}{\sqrt{9 - x^2 - y^2}}\right)$.<br /><br />Substituindo $\overrightarrow{F}$ e $\overrightarrow{n}$ na fórmula do fluxo, temos:<br /><br />$\iint_{S} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n} \, dS = \iint_{S} (2x, 2y, 2z) \cdot \left(\frac{-x}{\sqrt{9 - x^2 - y^2}}, \frac{-y}{\sqrt{9 - x^2 - y^2}}, \frac{z}{\sqrt{9 - x^2 - y^2}}\right) \, dS$<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />$\iint_{S} \frac{-2x^2 - 2y^2 + 2z^2}{\sqrt{9 - x^2 - y^2}} \, dS$<br /><br />Como $z^2 = 9 - x^2 - y^2$, podemos simplificar ainda mais:<br /><br />$\iint_{S} \frac{-2x^2 - 2y^2 + 18 - 2x^2 - 2y^2}{\sqrt{9 - x^2 - y^2}} \, dS = \iint_{S} \frac{18 - 4x^2 - 4y^2}{\sqrt{9 - x^2 - y^2}} \, dS$<br /><br />Agora, vamos calcular a integral sobre a superfície esférica $x^2 + y^2 + z^2 = 9$. Podemos usar coordenadas polares $(r, \theta, \phi)$, onde $x = r \sin \theta \cos \phi$, $y = r \sin \theta \sin \phi$, e $z = r \cos \theta$. A área elementar em coordenadas polares é $r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi$.<br /><br />Substituindo na integral, temos:<br /><br />$\iint_{S} \frac{18 - 4r^2 \sin^2 \theta}{r \sin \theta} \cdot r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \int_0^3 (18 - 4r^2 \sin^2 \theta) \, dr \, d\theta \, d\phi$<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />$\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \int_0^3 (18 - 4r^2 \sin^2 \theta) \, dr \, d\theta \, d\phi = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \left[ 18r - \frac{4r^3 \sin^2 \theta}{3} \right]_0^3 \, d\theta \, d\phi = \int_0