Questão 14 Existem alguns métodos que nos ajudam a reduzir a função do integrando a funções mais simples.um desses métodosé a integração por partes. Utilizando esse método calcule a integral abaixo: int (xsen(x)+5x^4)dx Assinale a alternativa c que contém a resposta correta a para essa integral. -xcos(x)+sen(x)+x^5+K -xcos(x)-sen(x)-x^5+K xcos(x)-sen(x)+K xcos(x)+sen(x)+x^5+K -xcos(x)+sen(x)+K

Para calcular a integral \(\int (x \sin(x) + 5x^4) \, dx\) utilizando a integração por partes, primeiro identificamos as partes \(u\) e \(dv\):<br /><br />- Escolha \(u = x\). Então, \(du = dx\).<br />- Escolha \(dv = \sin(x) \, dx\). Então, \(v = -\cos(x)\).<br /><br />Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes \(\int u \, dv \int v \, du\):<br /><br />\[<br />\int x \sin(x) \, dx = x(-\cos(x)) - \int -\cos(x) \, dx<br />\]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[<br />\int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx<br />\]<br /><br />Sabemos que \(\int \cos(x) \, dx = \sin(x)\), então:<br /><br />\[<br />\int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x)<br />\]<br /><br />Agora, calculamos a integral da segunda parte \(5x^4\):<br /><br />\[<br />\int 5 \, dx = 5 \int x^4 \, dx = 5 \left( \frac{x^5}{5} \right) = x^5<br />\]<br /><br />Somando as duas partes, obtemos:<br /><br />\[<br />\int (x \sin(x) + 5x^4) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) + x^5 + K<br />\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />\[<br />- x \cos(x) + \sin(x) + x^5 + K<br />\]<br /><br />Assinale a alternativa c que contém a resposta cor essa integral:<br /><br />\[<br />- x \cos(x) + \sin(x) + x^5 + K<br />\]