int _(1)^3int _(0)^11+4xydxdy

Para resolver a integral dupla \(\int_{1}^{3} \int_{0}^{1} (1 + 4xy) \, dx \, dy\), vamos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Integral interna em relação a \(x\):**<br /><br /> \[<br /> \int_{0}^{1} (1 + 4xy) \, dx<br /> \]<br /><br /> Para isso, vamos separar a integral em duas partes:<br /><br /> \[<br /> \int_{0}^{1} 1 \, dx + \int_{0}^{1} 4xy \, dx<br /> \]<br /><br /> Calculando cada parte separadamente:<br /><br /> \[<br /> \int_{0}^{1} 1 \, dx = x \bigg|_{0}^{1} = 1 - 0 = 1<br /> \]<br /><br /> Para a segunda parte, consideramos \(y\) como uma constante:<br /><br /> \[<br /> \int_{0}^{1} 4xy \, dx = 4y \int_{0}^{1} x \, dx = 4y \cdot x \bigg|_{0}^{1} = 4y \cdot (1 - 0) = 4y<br /> \]<br /><br /> Portanto, a integral interna é:<br /><br /> \[<br /> \int_{0}^{1} (1 + 4xy) \, dx = 1 + 4y<br /> \]<br /><br />2. **Integral externa em relação a \(y\):**<br /><br /> Agora, integramos a função resultante em relação a \(y\):<br /><br /> \[<br /> \int_{1}^{3} (1 + 4y) \, dy<br /> \]<br /><br /> Novamente, vamos separar a integral em duas partes:<br /><br /> \[<br /> \int_{1}^{3} 1 \, dy + \int_{1}^{3} 4y \, dy<br /> \]<br /><br /> Calculando cada parte separadamente:<br /><br /> \[<br /> \int_{1}^{3} 1 \, dy = y \bigg|_{1}^{3} = 3 - 1 = 2<br /> \]<br /><br /> Para a segunda parte:<br /><br /> \[<br /> \int_{1}^{3} 4y \, dy = 4 \int_{1}^{3} y \, dy = 4 \cdot \frac{y^2}{2} \bigg|_{1}^{3} = 4 \cdot \frac{9}{2} = 18<br /> \]<br /><br /> Portanto, a integral externa é:<br /><br /> \[<br /> \int_{1}^{3} (1 + 4y) \, dy = 2 + 18 = 20<br /> \]<br /><br />Portanto, o valor da integral dupla é:<br /><br />\[<br />\boxed{20}<br />\]