Considere a função f(x)=sin(x) Seja P(x) o Polinômio de Taylor de ordem 4 de f(x) em volta de 0 Qual das seguintes expressōes corresponde ao P(x) a. P(x)=1-(x^2)/(2)+(x^4)/(24) b P(x)=x-(x^3)/(3) c. P(x)=1+x-(x^2)/(2)-(x^3)/(6)+(x^4)/(24) d P(x)=1-(x^2)/(2)+(x^4)/(4) e P(x)=x-(x^3)/(6)

Para encontrar o polinômio de Taylor de ordem 4 da função \( f(x) = \sin(x) \) em torno de 0, precisamos calcular as derivadas de \( f(x) \) e substituir \( x = 0 \) para obter os coeficientes do polinômio.<br /><br />As derivadas de \( f(x) \) são:<br />\[ f'(x) = \cos(x) \]<br />\[ f''(x) = -\sin(x) \]<br />\[ f'''(x) = -\cos(x) \]<br />\[ f''''(x) = \sin(x) \]<br /><br />Substituindo \( x = 0 \) nas derivadas, obtemos:<br />\[ f(0) = \sin(0) = 0 \]<br />\[ f'(0) = \cos(0) = 1 \]<br />\[ f''(0) = -\sin(0) = 0 \]<br />\[ f'''(0) = -\cos(0) = -1 \]<br />\[ f''''(0) = \sin(0) = 0 \]<br /><br />Portanto, os coeficientes do polinômio de Taylor de ordem 4 são:<br />\[ a_0 = f(0) = 0 \]<br />\[ a_1 = f'(0) = 1 \]<br />\[ a_2 = f''(0) = 0 \]<br />\[ a_3 = f'''(0) = -1 \]<br />\[ a_4 = f''''(0) = 0 \]<br /><br />O polinômio de Taylor de ordem 4 de \( f(x) = \sin(x) \) em torno de 0 é:<br />\[ P(x) = 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot x^2 - 1 \cdot x^3 + 0 \cdot x^4 \]<br />\[ P(x) = x - x^3 \]<br /><br />Portanto, a expressão correta é:<br />b. \( P(x) = x - \frac{x^3}{6} \)