b) lim _(x arrow+infty) (5-cos x)/(x^4)

Para encontrar o limite da função \( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5-\cos x}{x^{4}} \), podemos usar a regra de L'Hôpital, que nos permite calcular o limite de uma função que tem a forma indeterminada \( \frac{0}{0} \) ou \( \frac{\infty}{\infty} \).<br /><br />Aplicando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador da função:<br /><br />\( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5-\cos x}{x^{4}} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-\sin x}{4x^{3}} \)<br /><br />Novamente, temos uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \), então podemos aplicar a regra de L'Hôpital novamente:<br /><br />\( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-\sin x}{4x^{3}} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-\cos x}{12x^{2}} \)<br /><br />Aplicando a regra de L'Hôpital mais uma vez:<br /><br />\( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-\cos x}{12x^{2}} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sin x}{24x} \)<br /><br />Aplicando a regra de L'Hôpital mais uma vez:<br /><br />\( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sin x}{24x} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\cos x}{24} \)<br /><br />Agora, podemos substituir \( x \) por \( +\infty \) na função \( \frac{\cos x}{24} \). O valor de \( \cos x \) varia entre -1 e 1, então o limite é:<br /><br />\( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\cos x}{24} = \frac{-1}{24} \) ou \( \frac{1}{24} \)<br /><br />Portanto, o limite da função \( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5-\cos x}{x^{4}} \) é \( \frac{-1}{24} \) ou \( \frac{1}{24} \).