5) Demonstrar por "indução matemática": a+acdot q+acdot q^2+... +acdot q^n=(a(q^n+1-1))/(q-1) forall nin N

Para demonstrar a fórmula dada por indução matemática, vamos seguir os passos da prova por indução.<br /><br />Passo 1: Base da indução<br />Queremos mostrar que a fórmula é verdadeira para n = 0. Substituindo n = 0 na fórmula, temos:<br />$a + a \cdot q + a \cdot q^2 + \cdots + a \cdot q^n = \frac{a(q^{n+1}-1)}{q-1}$<br />Simplificando, obtemos:<br />$a = \frac{a(q^{0+1}-1)}{q-1}$<br />$a = \frac{a(q-1)}{q-1}$<br />$a = a$<br />Portanto, a fórmula é verdadeira para n = 0.<br /><br />Passo 2: Passo da indução<br />Agora, vamos assumir que a fórmula é verdadeira para algum inteiro k, ou seja, assumimos que:<br />$a + a \cdot q + a \cdot q^2 + \cdots + a \cdot q^k = \frac{a(q^{k+1}-1)}{q-1}$<br />Queremos mostrar que a fórmula também é verdadeira para k + 1, ou seja, queremos mostrar que:<br />$a + a \cdot q + a \cdot q^2 + \cdots + a \cdot q^k + a \cdot q^{k+1} = \frac{a(q^{k+2}-1)}{q-1}$<br /><br />Substituindo a suposição de indução na equação acima, temos:<br />$\frac{a(q^{k+1}-1)}{q-1} + a \cdot q^{k+1} = \frac{a(q^{k+2}-1)}{q-1}$<br /><br />Multiplicando ambos os lados da equação por (q-1), obtemos:<br />$a(q^{k+1}-1) + a \cdot q^{k+1}(q-1) = a(q^{k+2}-1)$<br /><br />Simplificando, temos:<br />$aq^{k+1} - a + aq^{k+1} - aq^{k+1} = aq^{k+2} - a$<br />$aq^{k+1} - a = aq^{k+2} - a$<br />$aq^{k+1} = aq^{k+2}$<br />$q^{k+1} = q^{k+2}$<br />$q = q$<br /><br />Portanto, a fórmula é verdadeira para k + 1, se é verdadeira para k.<br /><br />Passo 3: Conclusão<br />Como a fórmula é verdadeira para n = 0 (base da indução) e se é verdadeira para k + 1 (passo da indução), podemos concluir que a fórmula é verdadeira para todos os números naturais n. Portanto, a fórmula é verdadeira para n = 0, 1, 2, 3,...