Calcule a seguinte integral int (x)/(sqrt (x+1))dx A. 2xsqrt (x+1)+C B. Axsqrt (x+1)-(2)/(3)(x+1)^((2)/(1))+C C. 2xsqrt (x+1)-2(x+1)^(3)+C D. 2sqrt (x+1)-(4)/(3)(x+1)^(3)+C E. 2xsqrt (x+1)-(4)/(3)(x+1)^(3)+C

Para calcular a integral \(\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} \, dx\), podemos usar a técnica de substituição. Vamos fazer a substituição \(u = x + 1\). Então, \(du = dx\) e \(x = u - 1\).<br /><br />Substituindo na integral, temos:<br /><br />\[<br />\int \frac{u-1}{\sqrt{u}} \, du<br />\]<br /><br />Podemos separar a integral em duas partes:<br /><br />\[<br />\int \frac{u-1}{\sqrt{u}} \, du = \int \left( \frac{u}{\sqrt{u}} - \frac{1}{\sqrt{u}} \right) \, du<br />\]<br /><br />Simplificando cada termo:<br /><br />\[<br />= \int \left( \sqrt{u} - u^{-\frac{1}{2}} \right) \, du<br />\]<br /><br />Agora, integramos cada termo separadamente:<br /><br />\[<br />= \int \sqrt{u} \, du - \int u^{-\frac{1}{2}} \, du<br />\]<br /><br />Para integrar \(\sqrt{u}\), que é \(u^{\frac{1}{2}}\), usamos a regra de potência:<br /><br />\[<br />\int u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}}<br />\]<br /><br />Para integrar \(u^{-\frac{1}{2}}\), usamos a regra de potência:<br /><br />\[<br />\int u^{-\frac{1}{2}} \, du = 2 u^{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{u} = 2 \sqrt{x+1}<br />\]<br /><br />Portanto, a integral se torna:<br /><br />\[<br />\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} \, dx = \frac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}} - 2 \sqrt{x+1} + C<br />\]<br /><br />Comparando com as opções fornecidas, a resposta correta é:<br /><br />D. \(2\sqrt{x+1} - \frac{4}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} + C\)