soma dos n primeiros termos da Progressão Aritmética 5.7.9ldots é572. Determine onúmero de termos dessa PA

Para determinar o número de termos dessa progressão aritmética (PA), podemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PA:<br /><br />\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \]<br /><br />Onde:<br />- \( S_n \) é a soma dos primeiros \( n \) termos.<br />- \( a_1 \) é o primeiro termo.<br />- \( a_n \) é o \( n \)-ésimo termo.<br /><br />Dado que a soma dos primeiros \( n \) termos é 572, o primeiro termo é 5 e a razão é 2, podemos escrever:<br /><br />\[ 572 = \frac{n}{2} (5 + (2n - 1)) \]<br /><br />Simplificando a expressão dentro dos parênteses:<br /><br />\[ 572 = \frac{n}{2} (5 + 2n - 1) \]<br />\[ 572 = \frac{n}{2} (2n + 4) \]<br />\[ 572 = n(n + 2) \]<br /><br />Agora, resolvemos a equação quadrática:<br /><br />\[ n^2 + 2n - 572 = 0 \]<br /><br />Usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br />\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]<br /><br />Onde:<br />- \( a = 1 \)<br />- \( b = 2 \)<br />- \( c = -572 \)<br /><br />Substituindo os valores:<br /><br />\[ n = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-572)}}{2 \cdot 1} \]<br />\[ n = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 2288}}{2} \]<br />\[ n = \frac{-2 \pm \sqrt{2292}}{2} \]<br />\[ n = \frac{-2 \pm 47.88}{2} \]<br /><br />Calculando as raízes:<br /><br />\[ n = \frac{45.88}{2} \approx 23.44 \]<br />\[ n = \frac{-49.88}{2} \approx -24.44 \]<br /><br />Como o número de termos deve ser um número inteiro positivo, a solução é \( n \approx 23 \).<br /><br />Portanto, o número de termos dessa PA é 23.