14. Mostrar que a função y=Asenkx. coswt é a soluçãc equação de onda.

Para mostrar que a função $$y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$$ é a solução da equação de onda, precisamos verificar se ela satisfaz a equação de onda.

A equação de onda é dada por:

$$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$$

Onde $$v$$ é a velocidade das ondas.

Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de $$y$$ em relação a $$t$$ e $$x$$ :

$$\frac{\partial y}{\partial t} = -A \omega \cos(kx) \sin(\omega t)$$

$$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -A \omega^2 \cos(kx) \cos(\omega t)$$

$$\frac{\partial y}{\partial x} = A k \sin(kx) \cos(\omega t)$$

$$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = A k^2 \cos(kx) \cos(\omega t)$$

Agora, substituímos essas derivadas na equação de onda:

$$-A \omega^2 \cos(kx) \cos(\omega t) = v^2 A k^2 \cos(kx) \cos(\omega t)$$

Simplificando, obtemos:

$$\omega^2 = v^2 k^2$$

Portanto, a função $$y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$$ é a solução da equação de onda, pois satisfaz a equação de onda.