6) Demonstrar por "indução matemática": 2^nlt 2^n+1forall nin N

Para demonstrar por indução matemática que \(2^n < 2^{n+1}\) para todo \(n \in \mathbb{N}\), vamos seguir os passos da prova por indução.<br /><br />**Passo 1: Base da indução**<br /><br />Verificamos a afirmação para \(n = 0\):<br /><br />\[2^0 = 1\]<br />\[2^{0+1} = 2^1 = 2\]<br /><br />Portanto, \(2^0 < 2^1\), o que é verdadeiro.<br /><br />**Passo 2: Passo da indução**<br /><br />Supomos que a afirmação é verdadeira para algum \(k \in \mathbb{N}\), ou seja, supomos que \(2^k < 2^{k+1}\).<br /><br />Queremos mostrar que a afirmação também é verdadeira para \(k+1\), ou seja, queremos mostrar que \(2^{k+1} < 2^{(k+1)+1}\).<br /><br />\[2^{k+1} = 2^k \cdot 2\]<br /><br />Sabemos que \(2^k < 2^{k+1}\), então:<br /><br />\[2^k \cdot 2 < 2^{k+1} \cdot 2\]<br /><br />Portanto, \(2^{k+1} < 2^{(k+1)+1}\).<br /><br />**Conclusão**<br /><br />Pelo princípio de indução matemática, a afirmação \(2^n < 2^{n+1}\) é verdadeira para todo \(n \in \mathbb{N}\).