Sejam v_(1)=(0,1,-3,3),v_(2)=(2,1,1,-1),v_(3)=(0,2,-2,-1),ev_(4)=(-1,-3,1,-2) vetores de R^4 . Se v=(4,7,3,-4) é tal que v=alpha _(1)v_(1)+alpha _(2)v_(2)+alpha _(3)v_(3)+alpha _(4)v_(4) calcule alpha _(1)^2+alpha _(2)^2+alpha _(3)^2+alpha _(4)^2

Para calcular $\alpha_{1}^{2} + \alpha_{2}^{2} + \alpha_{3}^{2} + \alpha_{4}^{2}$, podemos usar a equação dada $v = \alpha_{1}v_{1} + \alpha_{2}v_{2} + \alpha_{3}v_{3} + \alpha_{4}v_{4}$.<br /><br />Primeiro, vamos escrever a equação em termos das coordenadas dos vetores:<br /><br />$(4, 7, 3, -4) = \alpha_{1}(0, 1, -3, 3) + \alpha_{2}(2, 1, 1, -1) + \alpha_{3}(0, 2, -2, -1) + \alpha_{4}(-1, -3, 1, -2)$<br /><br />Agora, vamos separar as coordenadas em equações distintas:<br /><br />Para a primeira coordenada:<br />$4 = \alpha_{1} \cdot 0 + \alpha_{2} \cdot 2 + \alpha_{3} \cdot 0 + \alpha_{4} \cdot (-1)$<br />$4 = -\alpha_{4}$<br />$\alpha_{4} = -4$<br /><br />Para a segunda coordenada:<br />$7 = \alpha_{1} \cdot 1 + \alpha_{2} \cdot 1 + \alpha_{3} \cdot 2 + \alpha_{4} \cdot (-3)$<br />$7 = \alpha_{1} + \alpha_{2} + 2\alpha_{3} + 3\alpha_{4}$<br />$7 = \alpha_{1} + \alpha_{2} + 2\alpha_{3} - 12$<br />$\alpha_{1} + \alpha_{2} + 2\alpha_{3} = 19$<br /><br />Para a terceira coordenada:<br />$3 = \alpha_{1} \cdot (-3) + \alpha_{2} \cdot 1 + \alpha_{3} \cdot (-2) + \alpha_{4} \cdot 1$<br />$3 = -3\alpha_{1} + \alpha_{2} - 2\alpha_{3} + \alpha_{4}$<br />$3 = -3\alpha_{1} + \alpha_{2} - 2\alpha_{3} + 4$<br />$-1 = -3\alpha_{1} + \alpha_{2} - 2\alpha_{3}$<br />$\alpha_{1} = \frac{1}{3} + \frac{\alpha_{2}}{3} - \frac{2\alpha_{3}}{3}$<br /><br />Para a quarta coordenada:<br />$-4 = \alpha_{1} \cdot 3 + \alpha_{2} \cdot (-1) + \alpha_{3} \cdot (-1) + \alpha_{4} \cdot (-2)$<br />$-4 = 3\alpha_{1} - \alpha_{2} - \alpha_{3} + 2\alpha_{4}$<br />$-4 = 3\alpha_{1} - \alpha_{2} - \alpha_{3} - 8$<br />$4 = 3\alpha_{1} - \alpha_{2} - \alpha_{3}$<br />$\alpha_{1} = \frac{4 + \alpha_{2} + \alpha_{3}}{3}$<br /><br />Agora, podemos substituir as expressões de $\alpha_{1}$ e $\alpha_{4}$ nas equações para $\alpha_{2}$ e $\alpha_{3}$:<br /><br />$\alpha_{1} = \frac{1}{3} + \frac{\alpha_{2}}{3} - \frac{2\alpha_{3}}{3}$<br />$\alpha_{4} = -4$<br /><br />Substituindo $\alpha_{1}$ na equação $\alpha_{1} + \alpha_{2} + 2\alpha_{3} = 19$:<br /><br />$\frac{1}{3} + \frac{\alpha_{2}}{3} - \frac{2\alpha_{3}}{3} + \alpha_{2} + 2\alpha_{3} = 19$<br />$\frac{1}{3} + \frac{4\alpha_{2}}{3} + \frac{4\alpha_{3}}{3} = 19$<br />$1 + 4\alpha_{2} + 4\alpha_{3} = 57$<br />$4\alpha_{2} + 4\alpha_{3} = 56$<br />$\alpha_{2} + \alpha_{3} = 14$<br /><br />Agora, podemos encontrar os valores de $\alpha_{2}$ e $\alpha_{3