7) Demonstrar por "indução matemática": 2^ngt n^2 forall ngeqslant 5,nin N

Para demonstrar a afirmação por indução matemática, vamos seguir os passos da prova por indução.<br /><br />Passo 1: Base da indução<br />Verificamos se a afirmação é verdadeira para o valor inicial, que é \( n = 5 \).<br />\[ 2^5 > 5^2 \]<br />\[ 32 > 25 \]<br />Portanto, a afirmação é verdadeira para \( n = 5 \).<br /><br />Passo 2: Passo da indução<br />Supomos que a afirmação é verdadeira para algum \( k \geq 5 \), ou seja, \( 2^k > k^2 \).<br /><br />Passo 3: Prova da afirmação para \( k + 1 \)<br />Queremos mostrar que a afirmação também é verdadeira para \( k + 1 \), ou seja, \( 2^{k+1} > (k+1)^2 \).<br /><br />Começamos multiplicando ambos os lados da suposição \( 2^k > k^2 \) por 2:<br />\[ 2 \cdot 2^k > 2 \cdot k^2 \]<br />\[ 2^{k+1} > 2k^2 \]<br /><br />Agora, precisamos mostrar que \( 2k^2 > (k+1)^2 \) para \( k \geq 5 \).<br /><br />Expandimos \( (k+1)^2 \):<br />\[ (k+1)^2 = k^2 + 2k + 1 \]<br /><br />Então, precisamos mostrar que:<br />\[ 2k^2 > k^2 + 2k + 1 \]<br /><br />Subtraímos \( k^2 \) de ambos os lados:<br />\[ k^2 > 2k + 1 \]<br /><br />Reorganizamos a desigualdade:<br />\[ k^2 - 2k - 1 > 0 \]<br /><br />Para \( k \geq 5 \), a expressão \( k^2 - 2k - 1 \) é positiva. Portanto, a desigualdade \( 2k^2 > (k+1)^2 \) é verdadeira para \( k \geq 5 \).<br /><br />Portanto, concluímos que a afirmação \( 2^{k+1} > (k+1)^2 \) é verdadeira para \( k \geq 5 \).<br /><br />Concluímos que a afirmação \( 2^n > n^2 \) é verdadeira para todo \( n \geq 5 \) e \( n \in \mathbb{N} \) por indução matemática.