Verifique se equação diferencialé exata e em caso afirmativo resolva-a: (4x^3+4xy)dx+(2x^2+2y-1)dy=0 Escolha uma opção: a F(x,y)=4x^5+3x^2y+y+K b. F(x,y)=5x^4-4x^3y^2+y^2-4y+K C. F(x,y)=x^4+2x^2y+y^2-y+K d. F(x,y)=6x^4+xy-(3)/(2)y+K e. F(x,y)=2x^5+x^2y+y^2+K

Para verificar se a equação diferencial é exata, precisamos verificar se a derivada parcial de \(M\) em relação a \(y\) é igual à derivada parcial de \(N\) em relação a \(x\), onde \(M = 4x^{3}+4xy\) e \(N = 2x^{2}+2y-1\).<br /><br />Calculando as derivadas parciais, temos:<br /><br />\(\frac{\partial M}{\partial y} = 4x\)<br /><br />\(\frac{\partial N}{\partial x} = 4x\)<br /><br />Como \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\), a equação diferencial é exata.<br /><br />Agora, vamos resolver a equação diferencial exata. Podemos usar a fórmula da equação diferencial exata:<br /><br />\(\frac{\partial F}{\partial x} = M\) e \(\frac{\partial F}{\partial y} = N\)<br /><br />onde \(F(x,y)\) é a função potencial.<br /><br />Integrando \(\frac{\partial F}{\partial x}\) em relação a \(x\), obtemos:<br /><br />\(F(x,y) = \int (4x^{3}+4xy)dx = x^{4}+2x^{2}y+K\)<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção c: \(F(x,y) = x^{4}+2x^{2}y+y^{2}-y+K\).