é um grupo abeliano 2) (2 pontos) Mostre que se hat (G) e um gropo tal que (ab)^2=a^2b^2 um grupo abeliano.

Para mostrar que $\hat{G}$ é um grupo abeliano, precisamos verificar duas propriedades: a fechamento e a comutatividade.<br /><br />1) Fechamento: Para qualquer $a, b \in \hat{G}$, temos que $(ab)^2 = a^2b^2$. Isso significa que o produto de dois elementos em $\hat{G}$ também está em $\hat{G}$, portanto, $\hat{G}$ é fechado sob a operação de multiplicação.<br /><br />2) Comutatividade: Para mostrar que $\hat{G}$ é abeliano, precisamos mostrar que a operação de multiplicação é comutativa em $\hat{G}$. Ou seja, para qualquer $a, b \in \hat{G}$, devemos ter $ab = ba$.<br /><br />Vamos considerar dois elementos $a$ e $b$ em $\hat{G}$. Queremos mostrar que $ab = ba$.<br /><br />Podemos escrever $ab$ como $(ab)^2$ e $ba$ como $(ba)^2$. Usando a propriedade dada $(ab)^2 = a^2b^2$, podemos escrever $(ba)^2$ como $(ab)^2$.<br /><br />Portanto, temos $(ab)^2 = (ba)^2$, o que implica que $ab = ba$.<br /><br />Assim, concluímos que $\hat{G}$ é um grupo abeliano, pois satisfaz as propriedades de fechamento e comutatividade.