a) (1,5 ponto) Determine x c y de modo a maximizar R. b) (0,5 ponto) Qual a receita máxima? 3) (2,0 pontos) Seja a função f(x,y)=5x^2+6y^2-xy sujeita à restrição x+y=24 Determine o máximo def.

Para resolver o problema de maximização da função R(x, y) = 5x^2 + 6y^2 - xy, sujeita à restrição x + y = 24, podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.<br /><br />Primeiro, vamos escrever a função R(x, y) em termos de uma variável auxiliar λ, utilizando a restrição dada:<br /><br />R(x, y, λ) = 5x^2 + 6y^2 - xy + λ(x + y - 24)<br /><br />Agora, vamos calcular as derivadas parciais de R(x, y, λ) em relação a x, y e λ, e igualá-las a zero:<br /><br />∂R/∂x = 10x - y + λ = 0<br />∂R/∂y = 12y - x + λ = 0<br />∂R/∂λ = x + y - 24 = 0<br /><br />Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:<br /><br />10x - y + λ = 0<br />12y - x + λ = 0<br />x + y - 24 = 0<br /><br />Isso nos dá:<br /><br />x = 24 - y<br />10(24 - y) - y + λ = 0<br />12y - (24 - y) + λ = 0<br /><br />Substituindo x na segunda equação:<br /><br />240 - 10y - y + λ = 0<br />12y - 24 + y + λ = 0<br /><br />Simplificando:<br /><br />-11y + λ = 0<br />13y + λ = 0<br /><br />Isso nos dá:<br /><br />λ = 11y<br />λ = 13y<br /><br />Igualando as duas expressões para λ:<br /><br />11y = 13y<br />-2y = 0<br /><br />Portanto, y = 0. Substituindo y = 0 na restrição x + y = 24, encontramos x = 24.<br /><br />Agora, substituindo x = 24 e y = 0 na função R(x, y), encontramos:<br /><br />R(24, 0) = 5(24)^2 + 6(0)^2 - 24(0) = 2880<br /><br />Portanto, a receita máxima é 2880.<br /><br />Para determinar o valor de x e y que maximiza a função R(x, y), podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. A função Lagrange é dada por:<br /><br />L(x, y, λ) = 5x^2 + 6y^2 - xy + λ(x + y - 24)<br /><br />Calculamos as derivadas parciais de L(x, y, λ) em relação a x, y e λ, e igualamos a zero:<br /><br />∂L/∂x = 10x - y + λ = 0<br />∂L/∂y = 12y - x + λ = 0<br />∂L/∂λ = x + y - 24 = 0<br /><br />Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:<br /><br />x = 24 - y<br />10(24 - y) - y + λ = 0<br />12y - (24 - y) + λ = 0<br /><br />Substituindo x na segunda equação:<br /><br />240 - 10y - y + λ = 0<br />12y - 24 + y + λ = 0<br /><br />Simplificando:<br /><br />-11y + λ = 0<br />13y + λ = 0<br /><br />Isso nos dá:<br /><br />λ = 11y<br />λ = 13y<br /><br />Igualando as duas expressões para λ:<br /><br />11y = 13y<br />-2y = 0<br /><br />Portanto, y = 0. Substituindo y = 0 na restrição x + y = 24, encontramos x = 24.<br /><br />Portanto, o valor de x e y que maximiza a função R(x, y) = 24 e y = 0.