1. (3 pontos) Determine para quais valores de r a série sum _(n=1)^infty 2^n(x-3)^n se torna conver- gente.

Para determinar para quais valores de \( r \) a série \(\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n}(x-3)^{n}\) converge, podemos aplicar o teste do raio de convergência para séries de potências. A série é da forma \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n (x - c)^n\), onde \(a_n = 2^n\) e \(c = 3\).<br /><br />O raio de convergência \(R\) pode ser encontrado usando a fórmula:<br /><br />\[<br />\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|<br />\]<br /><br />Neste caso, temos:<br /><br />\[<br />\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2<br />\]<br /><br />Portanto,<br /><br />\[<br />\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} |2| = 2 \quad \Rightarrow \quad R = \frac{1}{2}<br />\]<br /><br />A série converge quando \(|x - 3| < R\). Assim, temos:<br /><br />\[<br />|x - 3| < \frac{1}{2}<br />\]<br /><br />Isso implica que:<br /><br />\[<br />- \frac{1}{2} < x - 3 < \frac{1}{2}<br />\]<br /><br />Resolvendo a desigualdade, obtemos:<br /><br />\[<br />2.5 < x < 3.5<br />\]<br /><br />Portanto, a série converge para \(x\) no intervalo aberto \((2.5, 3.5)\).