)Determine o número de termos da PG (243,81,27,ldots ,(1)/(3^10))

Para determinar o número de termos de uma progressão geométrica (PG), podemos usar a fórmula:<br /><br />\[ n = \frac{\log(\frac{a_n}{a_1})}{\log(r)} + 1 \]<br /><br />onde:<br />- \( n \) é o número de termos,<br />- \( a_n \) é o último termo da PG,<br />- \( a_1 \) é o primeiro termo da PG,<br />- \( r \) é a razão da PG.<br /><br />No caso da PG dada, temos:<br />- \( a_1 = 243 \),<br />- \( a_n = \frac{1}{3^{10}} \),<br />- \( r = \frac{81}{243} = \frac{1}{3} \).<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />\[ n = \frac{\log(\frac{\frac{1}{3^{10}}}{243})}{\log(\frac{1}{3})} + 1 \]<br /><br />Simplificando a expressão dentro do logaritmo, temos:<br /><br />\[ n = \frac{\log(\frac{1}{3^{10}} \cdot \frac{1}{243})}{\log(\frac{1}{3})} + 1 \]<br /><br />\[ n = \frac{\log(\frac{1}{3^{10} \cdot 243})}{\log(\frac{1}{3})} + 1 \]<br /><br />\[ n = \frac{\log(\frac{1}{3^{10} \cdot 3^5})}{\log(\frac{1}{3})} + 1 \]<br /><br />\[ n = \frac{\log(\frac{1}{3^{15}})}{\log(\frac{1}{3})} + 1 \]<br /><br />\[ n = \frac{\log(3^{-15})}{\log(3^{-1})} + 1 \]<br /><br />\[ n = \frac{-15 \log(3)}{-1 \log(3)} + 1 \]<br /><br />\[ n = 15 + 1 \]<br /><br />\[ n = 16 \]<br /><br />Portanto, o número de termos da PG é 16.