Pergunta 4 Considere a função f(x)=Senx+ln(2x) e o intervalo [2,3] Calcule a integral da função nesse intervalo utilize o método de 1/3 Simpson com n=2 e quatro casas decimais. int _(2)^3Senx+ln(2x)dx Mostrar opções de resposta A =1,2578 B I=1,2606 C 1=1,2504 D =1,2683 E 1=1.2639

Para calcular a integral da função \( f(x) = \sin(x) + \ln(2x) \) no intervalo \([2, 3]\) utilizando o método de \( \frac{1}{3} \) Simpson com \( n = 2 \), siga os seguintes passos:<br /><br />1. **Divida o intervalo em subintervalos:**<br /> \[<br /> \Delta x = \frac{3 - 2}{2} = 0.5<br /> \]<br /> Assim, os pontos são \( x_0 = 2 \), \( x_1 = 2.5 \), e \( x_2 = 3 \).<br /><br />2. **Calcule os valores da função nos pontos:**<br /> \[<br /> f(2) = \sin(2) + \ln(2 \cdot 2) = \sin(2) + \ln(4)<br /> \]<br /> \[<br /> f(2.5) = \sin(2.5) + \ln(2 \cdot 2.5) = \sin(2.5) + \ln(5)<br /> \]<br /> \[<br /> f(3) = \sin(3) + \ln(2 \cdot 3) = \sin(3) + \ln(6)<br /> \]<br /><br />3. **Aplicar o método de \( \frac{1}{3} \) Simpson:**<br /> \[<br /> \int_{2}^{3} f(x) \, dx \approx \frac{\Delta x}{6} \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + f(x_1) \right]<br /> \]<br /> \[<br /> \int_{2}^{3} f(x) \, dx \approx \frac{0.5}{6} \left[ f(2) + 3f(2.5) + 3f(3) + f(2.5) \right]<br /> \]<br /> \[<br /> \int_{2}^{3} f(x) \, dx \approx \frac{0.5}{6} \left[ f(2) + 3f(2.5) + 3f(3) + 3f(2.5) \right]<br /> \]<br /> \[<br /> \int_{2}^{3} f(x) \, dx \approx \frac{0.5}{6} \left[ f(2) + 6f(2.5) + 3f(3) \right]<br /> \]<br /><br />4. **Substitua os valores numéricos:**<br /> \[<br /> f(2) = \sin(2) + \ln(4) \approx 0.9093 + 1.3863 = 2.2956<br /> \]<br /> \[<br /> f(2.5) = \sin(2.5) + \ln(5) \approx 0.9093 + 1.6094 = 2.5187<br /> \]<br /> \[<br /> f(3) = \sin(3) + \ln(6) \approx 0.1411 + 1.7918 = 1.9329<br /> \]<br /><br /> Substituindo esses valores na fórmula:<br /> \[<br /> \int_{2}^{3} f(x) \, dx \approx \frac{0.5}{6} \left[ 2.2956 + 6 \cdot 2.5187 + 3 \cdot 1.9329 \right]<br /> \]<br /> \[<br /> \int_{2}^{3} f(x) \, dx \approx \frac{0.5}{6} \left[ 2.2956 + 15.1122 + 5.7997 \right]<br /> \]<br /> \[<br /> \int_{2}^{3} f(x) \, dx \approx \frac{0.5}{6} \left[ 23.2075 \right]<br /> \]<br /> \[<br /> \int_{2}^{3} f(x) \, dx \approx \frac{0.5 \cdot 23.2075}{6} \approx 1.9356<br /> \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />A) \( =1,2578 \)<br /><br />No entanto, parece que houve um erro na minha interpretação inicial. Vamos corrigir:<br /><br />Para \( n = 2 \), o método de Simpson é:<br />\[<br />\int_{2}^{3} f(x) \, dx \approx \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 2f(x_1)