(0,5 pontos) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela cury y=(1)/(4)x^2 pelo eixo x e as retas x=1 e x=4

Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva \(y = \frac{1}{4}x^2\) pelo eixo x e pelas retas \(x = 1\) e \(x = 4\), podemos usar o método dos discos ou anéis.<br /><br />Usando o método dos discos, consideramos fatias perpendiculares ao eixo x. A área de cada disco é dada por \(A(x) = \pi y^2\), onde \(y = \frac{1}{4}x^2\).<br /><br />O volume do sólido é a soma dessas áreas discos, integradas de \(x = 1\) a \(x = 4\):<br /><br />\[V = \int_{1}^{4} \pi \left(\frac{1}{4}x^2\right)^2 \, dx\]<br /><br />Simplificando a expressão dentro da integral:<br /><br />\[V = \pi \int_{1}^{4} \left(\frac{1}{16}x^4\right) \, dx\]<br /><br />\[V = \frac{\pi}{16} \int_{1}^{4} x^4 \, dx\]<br /><br />Calculando a integral:<br /><br />\[V = \frac{\pi}{16} \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{1}^{4}\]<br /><br />\[V = \frac{\pi}{16} \left( \frac{4^5}{5} - \frac{1^5}{5} \right)\]<br /><br />\[V = \frac{\pi}{16} \left( \frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \right)\]<br /><br />\[V = \frac{\pi}{16} \cdot \frac{1023}{5}\]<br /><br />\[V = \frac{1023\pi}{80}\]<br /><br />Portanto, o volume do sólido gerado pela rotação é \(\frac{1023\pi}{80}\).