2-Diagonalize a matring m=|2 & 1 0 & 1|

Para diagonalizar a matriz \( m \), precisamos encontrar uma matriz diagonal \( D \) e uma matriz de mudança de base \( P \) tal que \( m = PDP^{-1} \), onde \( D \) é uma matriz diagonal.<br /><br />Uma maneira de fazer isso é encontrar os autovalores e autovetores de \( m \). Os autovalores são os valores de \( \lambda \) que satisfazem o equação \( \det(m - \lambda I) = 0 \), onde \( I \) é a matriz identidade. Os autovetores correspondentes são os vetores \( v \) que satisfazem o sistema de equações \( (m - \lambda I)v = 0 \).<br /><br />Para a matriz \( m \), podemos calcular o determinante:<br /><br />\( \det(m - \lambda I) = \det\left(\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1 \\ 0 & 1 - \lambda\end{array}\right) = (2 - \lambda)(1 - \lambda) \)<br /><br />Igualando o determinante a zero, temos:<br /><br />\( (2 - \lambda)(1 - \lambda) = 0 \)<br /><br />Portanto, os autovalores de \( m \) são \( \lambda_1 = 2 \) e \( \lambda_2 = 1 \).<br /><br />Para encontrar os autovetores correspondentes, podemos resolver o sistema de equações \( (m - \lambda I)v = 0 \) para cada valor de \( \lambda \).<br /><br />Para \( \lambda_1 = 2 \):<br /><br />\( (m - 2I)v = 0 \)<br /><br />Isso resulta na matriz:<br /><br />\( \left(\begin{array}{cc}2 - 2 & 1 \\ 0 & 1 - 2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 0 & -1\end{array}\right) \)<br /><br />Resolvendo esse sistema, encontramos o autovetor correspondente \( v_1 = \left(\begin{array}{c}1 \\ 0\end{array}\right) \).<br /><br />Para \( \lambda_2 = 1 \):<br /><br />\( (m - 1I)v = 0 \)<br /><br />Isso resulta na matriz:<br /><br />\( \left(\begin{array}{cc}2 - 1 & 1 \\ 0 & 1 - 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right) \)<br /><br />Resolvendo esse sistema, encontramos o autovetor correspondente \( v_2 = \left(\begin{array}{c}-1 \\ 1\end{array}\right) \).<br /><br />Agora, podemos construir a matriz de mudança de base \( P \) usando os autovetores como linhas:<br /><br />\( P = \left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \)<br /><br />E a matriz diagonal \( D \) usando os autovalores como diagonais:<br /><br />\( D = \left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \)<br /><br />Portanto, a matriz \( m \) pode ser diagonalizada como \( m = PDP^{-1} \).