9. DES AFIO (OPC IONA L)Se a função real definida por f(x)=ax^2+bx+c e tal que f(1)=2 f(2)=5ef(3)=4 entǎo qual o valor de f(4)

Para resolver o problema, precisamos encontrar os coeficientes \(a\), \(b\) e \(c\) da função quadrática \(f(x) = ax^2 + bx + c\) usando as condições dadas:<br /><br />1. \(f(1) = 2\): <br /> \[a(1)^2 + b(1) + c = 2\] <br /> \[a + b + c = 2\]<br /><br />2. \(f(2) = 5\): <br /> \[a(2)^2 + b(2) + c = 5\] <br /> \[4a + 2b + c = 5\]<br /><br />3. \(f(3) = 4\): <br /> \[a(3)^2 + b(3) + c = 4\] <br /> \[9a + 3b + c = 4\]<br /><br />Agora, temos um sistema de três equações lineares:<br /><br />\[<br />\begin{align*}<br />1. & \quad a + b + c = 2 \\<br />2. & \quad 4a + 2b + c = 5 \\<br />3. & \quad 9a + 3b + c = 4 \\<br />\end{align*}<br />\]<br /><br />Subtraindo a primeira equação da segunda:<br /><br />\[<br />(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 5 - 2<br />\]<br />\[<br />3a + b = 3 \quad \text{(Equação 4)}<br />\]<br /><br />Subtraindo a segunda equação da terceira:<br /><br />\[<br />(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 4 - 5<br />\]<br />\[<br />5a + b = -1 \quad \text{(Equação 5)}<br />\]<br /><br />Subtraindo a Equação 4 da Equação 5:<br /><br />\[<br />(5a + b) - (3a + b) = -1 - 3<br />\]<br />\[<br />2a = -4<br />\]<br />\[<br />a = -2<br />\]<br /><br />Substituindo \(a = -2\) na Equação 4:<br /><br />\[<br />3(-2) + b = 3<br />\]<br />\[<br />-6 + b = 3<br />\]<br />\[<br />b = 9<br />\]<br /><br />Substituindo \(a = -2\) e \(b = 9\) na primeira equação:<br /><br />\[<br />-2 + 9 + c = 2<br />\]<br />\[<br />7 + c = 2<br />\]<br />\[<br />c = -5<br />\]<br /><br />Portanto, a função é \(f(x) = -2x^2 + 9x - 5\).<br /><br />Agora, calculamos \(f(4)\):<br /><br />\[<br />f(4) = -2(4)^2 + 9(4) - 5<br />\]<br />\[<br />= -2(16) + 36 - 5<br />\]<br />\[<br />= -32 + 36 - 5<br />\]<br />\[<br />= 4 - 5<br />\]<br />\[<br />= -1<br />\]<br /><br />Assim, o valor de \(f(4)\) é \(-1\).