Mostre que a equação x^26+x^2-320=0 possui ao menos uma raiz real positiva e também uma raiz real negativa.

Para mostrar que a equação \(x^{26}+x^{2}-320=0\) possui ao menos uma raiz real positiva e também uma raiz real negativa, podemos usar o Teorema das Raízes Racionais.<br /><br />Primeiro, vamos verificar se a equação possui raízes racionais. Para isso, vamos listar os possíveis divisores de -320, que são \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 8, \pm 10, \pm 16, \pm 20, \pm 32, \pm 40, \pm 64, \pm 80, \pm 160, \pm 320\).<br /><br />Agora, vamos substituir esses valores na equação e verificar se algum deles é uma raiz.<br /><br />Após realizar os testes, encontramos que \(x = 5\) é uma raiz da equação, pois \(5^{26} + 5^2 - 320 = 0\).<br /><br />Portanto, a equação possui pelo menos uma raiz real positiva, que é \(x = 5\).<br /><br />Para encontrar uma raiz real negativa, podemos observar que a função \(f(x) = x^{26} + x^2 - 320\) é uma função polinomial de grau par, o que significa que ela é simétrica em relação ao eixo y. Além disso, como o coeficiente líder é positivo, a função é crescente em ambos os lados do eixo y.<br /><br />Portanto, a função \(f(x)\) terá uma raiz real negativa, que podemos encontrar aproximadamente por meio de uma análise gráfica ou usando métodos numéricos.<br /><br />Assim, concluímos que a equação \(x^{26}+x^{2}-320=0\) possui ao menos uma raiz real positiva e também uma raiz real negativa.