f(x)=e^-2 08 Determine dois números positivos cuja soma seja 4 e tal que a soma do cubo do menor com o quadrado do maior seja mínima

Para resolver esse problema, podemos usar o método de otimização. Vamos chamar o menor número de x e o maior número de y. Queremos minimizar a função f(x, y) = x^3 + y^2, sujeita à restrição x + y = 4.<br /><br />Podemos usar o método de Lagrange para resolver esse problema. Definimos a função Lagrange L(x, y, λ) = x^3 + y^2 + λ(x + y - 4), onde λ é o multiplicador de Lagrange.<br /><br />Agora, calculamos as derivadas parciais de L em relação a x, y e λ, e igualamos a zero:<br /><br />∂L/∂x = 3x^2 + λ = 0<br />∂L/∂y = 2y + λ = 0<br />∂L/∂λ = x + y - 4 = 0<br /><br />Resolvendo esse sistema de equações, encontramos x = 2 e y = 2. Portanto, os dois números positivos cuja soma é 4 e tal que a soma do cubo do menor com o quadrado do maior seja mínima são 2 e 2.