2) Verifique se as seguintes funções são contínuas: f(x,y)=k,em(0,0) b) f(x,y)=ln(x^2+y^2-2(x+y)+2),em(1,1) c) f(x,y)=x,em(0,5) d) f(x,y)= ) (x^2-y^2)/(x^2)+y^(2)&se&(x,y)neq (0,0) 0&se (x,y)=(0,0) em (0,0) 3) Determine as derivadas parciais f_(x),f_(y),f_(xx),f_(xy),f_(yx)ef_(yy)de

2) Vamos verificar a continuidade das funções nos pontos indicados:

a) $f(x,y) = k$ em $(0,0)$:
A função $f(x,y) = k$ é uma constante. Funções constantes são contínuas em todos os pontos do seu domínio. Portanto, $f(x,y) = k$ é contínua em $(0,0)$.

b) $f(x,y) = \ln(x^2 + y^2 - 2(x + y) + 2)$ em $(1,1)$:
Para verificar a continuidade, precisamos avaliar o valor da função no ponto e o limite quando $(x,y) \to (1,1)$.
$$f(1,1) = \ln(1^2 + 1^2 - 2(1 + 1) + 2) = \ln(1 + 1 - 4 + 2) = \ln(0)$$
Como o logaritmo de zero não está definido, a função não é contínua em $(1,1)$.

c) $f(x,y) = x$ em $(0,5)$:
A função $f(x,y) = x$ depende apenas da variável $x$. O valor da função em $(0,5)$ é:
$$f(0,5) = 0$$
E o limite quando $(x,y) \to (0,5)$ é:
$$\lim_{(x,y) \to (0,5)} f(x,y) = \lim_{(x,y) \to (0,5)} x = 0$$
Portanto, a função é contínua em $(0,5)$.

d) $f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} & \text{se } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{se } (x,y) = (0,0) \end{cases}$ em $(0,0)$:
Para verificar a continuidade, precisamos avaliar o valor da função no ponto e o limite quando $(x,y) \to (0,0)$.
$$f(0,0) = 0$$
Agora, calculamos o limite:
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$$
Podemos usar coordenadas polares, onde $x = r\cos(\theta)$ e $y = r\sin(\theta)$:
$$\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{r^2\cos^2(\theta) - r^2\sin^2(\theta)}{r^2\cos^2(\theta) + r^2\sin^2(\theta)} = \frac{\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)} = \cos(2\theta)$$
O limite depende de $\theta$, então não existe um limite único quando $(x,y) \to (0,0)$. Portanto, a função não é contínua em $(0,0)$.

3) Para determinar as derivadas parciais, precisamos da função específica para calcular $f_x, f_y, f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}$ e $f_{yy}$. Por favor, forneça a função para que possamos proceder com os cálculos.