A região limitada pela curva y=x^2+1 e pela reta y=-x+3 gira em torno do eixo ar para gerar um sólido. Determine o volume do sólido. volume é: A ) V=(pi )/(5) B b V=(217pi )/(15) C C V=(117pi )/(5) D d V=(67pi )/(15)

Para determinar o volume do sólido gerado pela região limitada pela curva $y=x^{2}+1$ e pela reta $y=-x+3$ ao girar em torno do eixo $x$, podemos usar o método dos discos.<br /><br />Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Igualando as duas equações, temos:<br /><br />$x^{2}+1=-x+3$<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$x^{2}+x-2=0$<br /><br />Fatorando a equação quadrática, temos:<br /><br />$(x+2)(x-1)=0$<br /><br />Portanto, os pontos de interseção são $x=-2$ e $x=1$.<br /><br />Agora, vamos calcular o volume do sólido usando o método dos discos. O raio de cada disco é dado pela distância entre a curva e a reta, que é $y=-x+3-(x^{2}+1)=-x^{2}-x+2$. O volume é dado por:<br /><br />$V=\pi\int_{-2}^{1}(-x^{2}-x+2)^{2}dx$<br /><br />Calculando a integral, obtemos:<br /><br />$V=\frac{217\pi}{15}$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção B) $V=\frac{217\pi}{15}$.