Esboce o sólido que é dado pela integral iterada int _(0)^1int _(0)^1(2-x^2-y^2)dydx

Para esboçar o sólido dado pela integral iterada \(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(2-x^{2}-y^{2})\,dy\,dx\), vamos analisar a função integranda \(2 - x^2 - y^2\).<br /><br />A integral \(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(2 - x^2 - y^2)\,dy\,dx\) representa a área sob a superfície \(z = 2 - x^2 - y^2\) no domínio \(0 \leq x \leq 1\) e \(0 \leq y \leq 1\).<br /><br />Para encontrar o sólido, precisamos entender a região que essa função cobre no espaço tridimensional. A função \(z = 2 - x^2 - y^2\) é uma paráboloide côncava para baixo, com o vértice na origem \((0, 0)\) e o valor máximo de \(z\) ocorre no ponto \((0, 0)\), onde \(z = 2\).<br /><br />Vamos calcular a área da região:<br /><br />1. **Integração em relação a \(y\)**:<br /> \[<br /> \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} (2 - x^2 - y^2) \, dy \right) dx<br /> \]<br /><br />2. Integre em relação a \(y\):<br /> \[<br /> \int_{0}^{1} \left[ y(2 - x^2 - y^2) \right]_{0}^{1} \, dx = \int_{0}^{1} (2 - x^2 - 1) \, dx = \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx<br /> \]<br /><br />3. Integre em relação a \(x\):<br /> \[<br /> \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}<br /> \]<br /><br />Portanto, a área da região é \(\frac{2}{3}\).<br /><br />O sólido é uma paráboloide côncava para baixo, com vértice na origem \((0, 0)\), que cobre a base \(0 \leq x \leq 1\) e \(0 \leq y \leq 1\), e tem altura máxima de 2 unidades no ponto \((0, 0)\).