3. (Unicamp-SP) Sejam x e y números reais tais que x+yi=sqrt (3+4i) ,onde ié a unidade imagi- nária. O valor de xy é igual a: a) -2 c) 1 b) -1 d) 2

Para resolver essa questão, primeiro precisamos simplificar a expressão $\sqrt{3+4i}$.<br /><br />Podemos escrever $3+4i$ na forma $a+bi$, onde $a$ é a parte real e $b$ é a parte imaginária. Neste caso, temos $a=3$ e $b=4$.<br /><br />Para simplificar a raiz quadrada, podemos usar a forma polar dos números complexos. A forma polar de um número complexo é dada por $r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$, onde $r$ é o módulo do número complexo e $\theta$ é o argumento.<br /><br />O módulo de $3+4i$ é dado por $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.<br /><br />O argumento de $3+4i$ é dado por $\arctan{\frac{4}{3}}$.<br /><br />Portanto, podemos escrever $3+4i$ na forma polar como $5(\cos{\arctan{\frac{4}{3}}}+i\sin{\arctan{\frac{4}{3}}})$.<br /><br />Agora, podemos calcular a raiz quadrada de $3+4i$:<br /><br />$\sqrt{3+4i}=\sqrt{5(\cos{\arctan{\frac{4}{3}}}+i\sin{\arctan{\frac{4}{3}}})}$<br /><br />$=\sqrt{5}(\cos{\frac{\arctan{\frac{4}{3}}}{2}}+i\sin{\frac{\arctan{\frac{4}{3}}}{2}})$<br /><br />Agora, podemos igualar as partes reais e imaginárias dos dois lados da equação:<br /><br />$x=\sqrt{5}\cos{\frac{\arctan{\frac{4}{3}}}{2}}$<br /><br />$y=\sqrt{5}\sin{\frac{\arctan{\frac{4}{3}}}{2}}$<br /><br />Para encontrar o valor de $xy$, podemos multiplicar as expressões para $x$ e $y$:<br /><br />$xy=\sqrt{5}\cos{\frac{\arctan{\frac{4}{3}}}{2}}\cdot\sqrt{5}\sin{\frac{\arctan{\frac{4}{3}}}{2}}$<br /><br />$=\frac{5}{2}\sin{\arctan{\frac{4}{3}}}$<br /><br />Usando uma calculadora, encontramos que $\sin{\arctan{\frac{4}{3}}}\approx 0.8$.<br /><br />Portanto, temos:<br /><br />$xy\approx\frac{5}{2}\cdot0.8=2$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção d) 2.