café que escoa de um fltro cônico , de diâmetrole altura 6 pol , para uma cafeteira cilindrica, de diâmetro 6 pol, varia a uma taxa de 10pol^3/min A que taxa o nivel do café na cafeteira , aumentará quando a altura de café no filtro for 5 pol?

Para resolver esse problema, podemos usar o conceito de derivada.<br /><br />Sabemos que a taxa de variação do volume de café que escoa do filtro cônico é de $10pol^{3}/min$. Queremos encontrar a taxa de variação do nível de café na cafeteira cilíndrica quando a altura de café no filtro for 5 pol.<br /><br />Vamos chamar de V o volume de café na cafeteira cilíndrica. Podemos escrever a relação entre o volume de café e a altura de café no filtro cônico usando a fórmula do volume de um cone:<br /><br />$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$<br /><br />Onde r é o raio da base do cone (que é igual à metade do diâmetro) e h é a altura de café no filtro.<br /><br />Agora, vamos derivar essa fórmula em relação ao tempo t:<br /><br />$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi r^2 \frac{dh}{dt}$<br /><br />Sabemos que $\frac{dV}{dt} = 10pol^{3}/min$ e r = 3 pol (metade do diâmetro do filtro cônico).<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />$10pol^{3}/min = \frac{1}{3} \pi (3pol)^2 \frac{dh}{dt}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$10pol^{3}/min = 3\pi pol^2 \frac{dh}{dt}$<br /><br />Isolando $\frac{dh}{dt}$, temos:<br /><br />$\frac{dh}{dt} = \frac{10pol^{3}/min}{3\pi pol^2}$<br /><br />Simplificando ainda mais, temos:<br /><br />$\frac{dh}{dt} = \frac{10}{3\pi} pol/min$<br /><br />Portanto, a taxa de variação do nível de café na cafeteira cilíndrica quando a altura de café no filtro for 5 pol é $\frac{10}{3\pi} pol/min$.