Questão 3: Calcule Onde, R é a região xy delimitada por: x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4 Dica: x^2+y^2=r^2 :' x=rcos(Theta ) because 'y=rsen(Theta ) int e^udu=gt I=e^u+C is cos^2(x)+sen^2(x)=1therefore because A=rdrdTheta Solucão iint _(R)2e^(x^(2+y^2))dA

Para calcular a integral dupla \(\iint_{R} 2e^{(x^{2}+y^{2})}dA\) sobre a região \(R\) delimitada por \(x^{2}+y^{2}=1\) e \(x^{2}+y^{2}=4\), podemos usar as coordenadas polares.<br /><br />Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas em coordenadas polares. Usando a dica fornecida, temos:<br /><br />\(x = r \cos(\Theta)\) e \(y = r \sin(\Theta)\)<br /><br />Onde \(r\) é a distância radial e \(\Theta\) é o ângulo em radianos.<br /><br />Agora, podemos substituir as coordenadas cartesianas por coordenadas polares na integral:<br /><br />\(\iint_{R} 2e^{(x^{2}+y^{2})}dA = \iint_{R} 2e^{r^{2}}r \, dr \, d\Theta\)<br /><br />Agora, vamos calcular a integral em relação a \(r\):<br /><br />\(\int 2e^{r^{2}}r \, dr\)<br /><br />Para isso, podemos fazer uma substituição. Seja \(u = r^{2}\), então \(du = 2r \, dr\). Reescrevendo a integral em termos de \(u\), temos:<br /><br />\(\int 2e^{u} \, du\)<br /><br />Usando a dica fornecida, podemos calcular essa integral:<br /><br />\(\int 2e^{u} \, du = 2e^{u} + C\)<br /><br />Substituindo de volta \(u = r^{2}\), temos:<br /><br />\(2e^{r^{2}} + C\)<br /><br />Agora, vamos calcular a integral em relação a \(\Theta\):<br /><br />\(\int 2e^{r^{2}}r \, d\Theta\)<br /><br />Como a função \(e^{r^{2}}\) não depende de \(\Theta\), podemos fatorar a constante \(2e^{r^{2}}r\) da integral:<br /><br />\(2e^{r^{2}}r \int d\Theta\)<br /><br />A integral em relação a \(\Theta\) é simplesmente \(\Theta\):<br /><br />\(2e^{r^{2}}r \Theta + D\)<br /><br />Agora, precisamos avaliar essa expressão nos limites da região \(R\). A região \(R\) é um anel com centro em origem e raíos 1 e 2. Portanto, \(r\) varia de 1 a 2 e \(\Theta\) varia de 0 a \(2\pi\).<br /><br />Substituindo os limites, temos:<br /><br />\(2e^{r^{2}}r \Theta \bigg|_{0}^{2\pi} - 2e^{r^{2}}r \Theta \bigg|_{0}^{2\pi}\)<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\(2e^{r^{2}}r \Theta \bigg|_{0}^{2\pi} - 2e^{r^{2}}r \Theta \bigg|_{0}^{2\pi} = 0\)<br /><br />Portanto, a integral \(\iint_{R} 2e^{(x^{2}+y^{2})}dA\) é igual a zero.