4) (Uece) Sejam M(7,-2) e N(5,4) . Se C é uma circunferência que tem o segmento MN como um diâmetro , então a equação de Cé: a) x^2+y^2-12x-2y+27=0 b) x^2+y^2+12x-2y+27=0 ) x^2+y^2+12x+2y+27=0

Para encontrar a equação da circunferência C, precisamos primeiro encontrar o centro e o raio da circunferência.<br /><br />O centro da circunferência é o ponto médio do segmento MN. Podemos calcular isso usando a fórmula:<br /><br />$C = \left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}\right)$<br /><br />Substituindo os valores de M e N, temos:<br /><br />$C = \left(\frac{{7 + 5}}{2}, \frac{{-2 + 4}}{2}\right) = (6, 1)$<br /><br />Agora, precisamos calcular o raio da circunferência. O raio é metade do comprimento do segmento MN. Podemos calcular o comprimento do segmento usando a fórmula:<br /><br />$MN = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}$<br /><br />Substituindo os valores de M e N, temos:<br /><br />$MN = \sqrt{{(5 - 7)^2 + (4 - (-2))^2}} = \sqrt{{(-2)^2 + 6^2}} = \sqrt{{4 + 36}} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$<br /><br />Portanto, o raio é $\sqrt{10}$.<br /><br />A equação da circunferência é dada por:<br /><br />$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$<br /><br />Onde (h, k) são as coordenadas do centro e r é o raio.<br /><br />Substituindo os valores de C e r, temos:<br /><br />$(x - 6)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{10})^2$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$(x - 6)^2 + (y - 1)^2 = 10$<br /><br />Expandindo e simplificando, temos:<br /><br />$x^2 - 12x + 36 + y^2 - 2y + 1 = 10$<br /><br />$x^2 + y^2 - 12x - 2y + 37 = 10$<br /><br />$x^2 + y^2 - 12x - 2y + 27 = 0$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção a) $x^2 + y^2 - 12x - 2y + 27 = 0$.