Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção de eleitores favoráveis a seu candidato. (a) Determine o tamanho de amostra necessário para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo 0,01, com confiança de 5% (b) Uma amostra piloto revelou que entre 60% e 70% dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão. Com base nessa informação , qual deve ser o tamanho de amostra de modo que as condições em (a) estejam satisfeitos?

(a) Para determinar o tamanho de amostra necessário, podemos usar a fórmula do tamanho de amostra para uma proporção:<br /><br />\[ n = \frac{Z^2 \cdot p \cdot (1-p)}{E^2} \]<br /><br />Onde:<br />- \( n \) é o tamanho de amostra necessário<br />- \( Z \) é o valor crítico correspondente à confiança desejada (para uma confiança de 95%, \( Z = 1,96 \))<br />- \( p \) é a proporção estimada de eleitores favoráveis ao candidato (neste caso, não sabemos o valor exato, então usaremos uma estimativa conservadora de \( p = 0,5 \))<br />- \( E \) é o erro máximo permitido (neste caso, \( E = 0,01 \))<br /><br />Substituindo os valores na fórmula, temos:<br /><br />\[ n = \frac{1,96^2 \cdot 0,5 \cdot (1-0,5)}{0,01^2} \]<br /><br />Calculando o valor, temos:<br /><br />\[ n = \frac{3,8416 \cdot 0,25}{0,0001} \]<br />\[ n = \frac{0,9604}{0,0001} \]<br />\[ n = 9604 \]<br /><br />Portanto, o tamanho de amostra necessário para que o erro cometido na estimação seja de no máximo 0,01, com confiança de 95%, é de 9604 eleitores.<br /><br />(b) Com base na informação da amostra piloto, sabemos que a proporção estimada de eleitores favoráveis ao candidato está entre 60% e 70%. Para garantir que as condições em (a) sejam satisfeitas, podemos usar a fórmula do tamanho de amostra para uma proporção com intervalo de confiança:<br /><br />\[ n = \frac{Z^2 \cdot p \cdot (1-p)}{E^2} \]<br /><br />Onde:<br />- \( n \) é o tamanho de amostra necessário<br />- \( Z \) é o valor crítico correspondente à confiança desejada (para uma confiança de 95%, \( Z = 1,96 \))<br />- \( p \) é a proporção estimada de eleitores favoráveis ao candidato (neste caso, usaremos o valor médio do intervalo de confiança, \( p = 0,65 \))<br />- \( E \) é o erro máximo permitido (neste caso, \( E = 0,01 \))<br /><br />Substituindo os valores na fórmula, temos:<br /><br />\[ n = \frac{1,96^2 \cdot 0,65 \cdot (1-0,65)}{0,01^2} \]<br /><br />Calculando o valor, temos:<br /><br />\[ n = \frac{3,8416 \cdot 0,65 \cdot 0,35}{0,0001} \]<br />\[ n = \frac{0,88158}{0,0001} \]<br />\[ n = 8816 \]<br /><br />Portanto, com base na informação da amostra piloto, o tamanho de amostra necessário para que as condições em (a) sejam satisfeitas é de 8816 eleitores.