2) (Uespi-PI) O resto đa divisão do polinômio P(x)x^4+69 por x^2+4x+8 6.

Para encontrar o resto da divisão do polinômio \( P(x) = x^4 + 69 \) por \( x^2 + 4x + 8 \), podemos usar o teorema do resto. O teorema do resto afirma que, se um polinômio \( P(x) \) é dividido por um binômio \( x - a \), o resto da divisão é igual a \( P(a) \).<br /><br />No caso em questão, o divisor é \( x^2 + 4x + 8 \), que pode ser escrito como \( (x + 4)(x + 2) \). Portanto, podemos aplicar o teorema do resto considerando as raízes do binômio \( x^2 + 4x + 8 \), que são as soluções da equação \( x^2 + 4x + 8 = 0 \).<br /><br />No entanto, ao resolver essa equação, verificamos que ela não possui raízes reais, pois o discriminante \( b^2 - 4ac \) é negativo. Portanto, não é possível aplicar o teorema do resto diretamente.<br /><br />Para encontrar o resto da divisão, podemos realizar a divisão sintética ou a divisão polinomial. caso, a divisão polinomial é mais adequada.<br /><br />Dividindo \( P(x) \) por \( x^2 + 4x + 8 \), obtemos:<br /><br />\[<br />\begin{array}{r|rrrrr}<br /> & 1 & 0 & 0 & 0 & 69 \\<br />\hline<br />x^2 + 4x + 8 & 1 & -4 & 16 & -64 & 552 \\<br />\end{array}<br />\]<br /><br />Onde o último valor, 552, representa o resto da divisão.<br /><br />Portanto, o resto da divisão do polinômio \( P(x) = x^4 + 69 \) por \( x^2 + 4x + 8 \) é 552.