(d u(x))/(d x)=-(1)/(x^2)+2 x+1

Para encontrar a derivada da função \(u(x)\), precisamos integrar a expressão dada para \(du(x)/dx\). Vamos fazer a integral:<br /><br />\[<br />\int \left(-\frac{1}{x^{2}} + 2x + 1\right) dx<br />\]<br /><br />Vamos integrar cada termo separadamente:<br /><br />1. Integral de \(-\frac{1}{x^{2}}\):<br /><br />\[<br />\int -\frac{1}{x^{2}} dx = \int -x^{-2} dx = -\frac{1}{x} + C_1<br />\]<br /><br />2. Integral de \(2x\):<br /><br />\[<br />\int 2x dx = x^2 + C_2<br />\]<br /><br />3. Integral de \(1\):<br /><br />\[<br />\int 1 dx = x + C_3<br />\]<br /><br />Somando todos os termos e constantes de integração, temos:<br /><br />\[<br />-\frac{1}{x} + x^2 + x + C<br />\]<br /><br />onde \(C = C_1 + C_2 + C_3\) é a constante de integração geral.<br /><br />Portanto, a função \(u(x)\) é:<br /><br />\[<br />u(x) = -\frac{1}{x} + x^2 + x + C<br />\]