Exemplo 1:Dada a função f:[0,8]arrow R definida por f(x)=2x (a) Esboce o gráfico da função e calcule a área A da região R entre o gráfico de f e o intervalo [0,8] no eixo x (b)considerando r como extremo inferior de cada intervalo e encontre (i) A_(2) (ii) A_(4) (iii) A_(n)eA=lim _(narrow +infty )A_(n) 1.3. 0 método da antiderivada ou primitiva para encontrar áreas Se f é uma função contínua e não-negativa no intervalo [a,b] e A(x) a área da região entre gráfico de f acima do o intervalo [a,x] , onde x um ponto qualquer do intervalo [a,b] então A'(x)=f(x) Exemplo 2:Em cada caso esboce o gráfico da função f,encontre a área A(x) entre o gráfico de f e o intervalo dado e encontre A'(x) (a) f:[-2,x]arrow R definida por f(x)=2 (b) f:[-1,x]arrow R definida por f(x)=x+2

Exemplo 1:

(a) O gráfico da função $f(x) = 2x$ é uma linha reta que passa pelo ponto (0,0) e tem inclinação 2. A área $A$ da região $R$ entre o gráfico de $f$ e o eixo $x$ no intervalo $[0,8]$ é calculada pela fórmula da área de um triângulo, que é $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}$. Neste caso, a base é 8 e a altura é $f(8) = 2 \times 8 = 16$. Portanto, $A = \frac{1}{2} \times 8 \times 16 = 64$.

(b)
(i) $A_2$ é a soma das áreas dos dois primeiros retângulos formados pelo gráfico de $f$ e o eixo $x$ no intervalo $[0,8]$. Cada retângulo tem base 2 e altura $f(2) = 2 \times 2 = 4$. Portanto, $A_2 = 2 \times 4 = 8$.
(ii) $A_4$ é a soma das áreas dos quatro primeiros retângulos formados pelo gráfico de $f$ e o eixo $x$ no intervalo $[0,8]$. Cada retângulo tem base 2 e altura $f(4) = 2 \times 4 = 8$. Portanto, $A_4 = 4 \times 8 = 32$.
(iii) $A_n$ é a soma das áreas dos $n$ primeiros retângulos formados pelo gráfico de $f$ e o eixo $x$ no intervalo $[0,8]$. Cada retângulo tem base 2 e altura $f(n) = 2 \times n$. Portanto, $A_n = n \times 2 \times n = 2n^2$. $A = \lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} 2n^2 = +\infty$.

Exemplo 2:

(a) O gráfico da função $f(x) = 2$ é uma linha horizontal no nível 2. A área $A(x)$ entre o gráfico de $f$ e o intervalo dado é simplesmente o valor de $f$ multiplicado pela diferença entre os pontos finais do intervalo. Portanto, $A(x) = 2 \times (x - (-2)) = 2x + 4$. $A'(x) = 2$.

(b) O gráfico da função $f(x) = x + 2$ é uma linha reta com inclinação 1 e intercepto no eixo $y$ igual a 2. A área $A(x)$ entre o gráfico de $f$ e o intervalo dado é calculada pela fórmula da área de um triângulo, que é $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}$. Neste caso, a base é $x - (-1) = x + 1$ e a altura é $f(x) = x + 2$. Portanto, $A(x) = \frac{1}{2} \times (x + 1) \times (x + 2) = \frac{1}{2} \times (x^2 + 3x + 2) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 1$. $A'(x) = x + 3$.