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Matemática
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Exemplo 1:Dada a função f:[0,8]arrow R definida por f(x)=2x (a) Esboce o gráfico da função e calcule a área A da região R entre o gráfico de f e o intervalo [0,8] no eixo x (b)considerando r como extremo inferior de cada intervalo e encontre (i) A_(2) (ii) A_(4) (iii) A_(n)eA=lim _(narrow +infty )A_(n) 1.3. 0 método da antiderivada ou primitiva para encontrar áreas Se f é uma função contínua e não-negativa no intervalo [a,b] e A(x) a área da região entre gráfico de f acima do o intervalo [a,x] , onde x um ponto qualquer do intervalo [a,b] então A'(x)=f(x) Exemplo 2:Em cada caso esboce o gráfico da função f,encontre a área A(x) entre o gráfico de f e o intervalo dado e encontre A'(x) (a) f:[-2,x]arrow R definida por f(x)=2 (b) f:[-1,x]arrow R definida por f(x)=x+2

Pergunta

Exemplo 1:Dada a função f:[0,8]arrow R definida por f(x)=2x
(a) Esboce o gráfico da função e calcule a área A da região R entre o gráfico de f e o intervalo
[0,8] no eixo x
(b)considerando r como extremo inferior de cada intervalo e encontre
(i) A_(2)
(ii) A_(4)
(iii) A_(n)eA=lim _(narrow +infty )A_(n)
1.3. 0 método da antiderivada ou primitiva para encontrar áreas
Se f é uma função contínua e não-negativa no intervalo [a,b] e A(x) a área da região entre
gráfico de f acima do o intervalo [a,x] , onde x um ponto qualquer do intervalo [a,b] então
A'(x)=f(x)
Exemplo 2:Em cada caso esboce o gráfico da função f,encontre a área A(x) entre o gráfico
de f e o intervalo dado e encontre A'(x)
(a) f:[-2,x]arrow R definida por f(x)=2
(b) f:[-1,x]arrow R definida por f(x)=x+2

Exemplo 1:Dada a função f:[0,8]arrow R definida por f(x)=2x (a) Esboce o gráfico da função e calcule a área A da região R entre o gráfico de f e o intervalo [0,8] no eixo x (b)considerando r como extremo inferior de cada intervalo e encontre (i) A_(2) (ii) A_(4) (iii) A_(n)eA=lim _(narrow +infty )A_(n) 1.3. 0 método da antiderivada ou primitiva para encontrar áreas Se f é uma função contínua e não-negativa no intervalo [a,b] e A(x) a área da região entre gráfico de f acima do o intervalo [a,x] , onde x um ponto qualquer do intervalo [a,b] então A'(x)=f(x) Exemplo 2:Em cada caso esboce o gráfico da função f,encontre a área A(x) entre o gráfico de f e o intervalo dado e encontre A'(x) (a) f:[-2,x]arrow R definida por f(x)=2 (b) f:[-1,x]arrow R definida por f(x)=x+2

Solução

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PauloProfissional · Tutor por 6 anos

Responder

Exemplo 1:

(a) O gráfico da função f(x) = 2x é uma linha reta que passa pelo ponto (0,0) e tem inclinação 2. A área A da região R entre o gráfico de f e o eixo x no intervalo [0,8] é calculada pela fórmula da área de um triângulo, que é \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} basealtura. Neste caso, a base é 8 e a altura é f(8) = 2 \times 8 = 16 . Portanto, A = \frac{1}{2} \times 8 \times 16 = 64 .

(b)
(i) A_2 é a soma das áreas dos dois primeiros retângulos formados pelo gráfico de f e o eixo x no intervalo [0,8]. Cada retângulo tem base 2 e altura f(2) = 2 \times 2 = 4 . Portanto, A_2 = 2 \times 4 = 8 .
(ii) A_4 é a soma das áreas dos quatro primeiros retângulos formados pelo gráfico de f e o eixo x no intervalo [0,8]. Cada retângulo tem base 2 e altura f(4) = 2 \times 4 = 8 . Portanto, A_4 = 4 \times 8 = 32 .
(iii) A_n é a soma das áreas dos n primeiros retângulos formados pelo gráfico de f e o eixo x no intervalo [0,8]. Cada retângulo tem base 2 e altura f(n) = 2 \times n . Portanto, A_n = n \times 2 \times n = 2n^2 . A = \lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} 2n^2 = +\infty .

Exemplo 2:

(a) O gráfico da função f(x) = 2 é uma linha horizontal no nível 2. A área A(x) entre o gráfico de f e o intervalo dado é simplesmente o valor de f multiplicado pela diferença entre os pontos finais do intervalo. Portanto, A(x) = 2 \times (x - (-2)) = 2x + 4 . A'(x) = 2 .

(b) O gráfico da função f(x) = x + 2 é uma linha reta com inclinação 1 e intercepto no eixo y igual a 2. A área A(x) entre o gráfico de f e o intervalo dado é calculada pela fórmula da área de um triângulo, que é \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} . Neste caso, a base é x - (-1) = x + 1 e a altura é f(x) = x + 2 . Portanto, A(x) = \frac{1}{2} \times (x + 1) \times (x + 2) = \frac{1}{2} \times (x^2 + 3x + 2) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 1 . A'(x) = x + 3 .
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