4. - Seja o problema de valor inicial definido por y^2dx-3xdy=0 com y(e)=3 Se econg 2,71828 , quais são os poss/veis valores da constante de integração desse problema? A) pm 3 B) pm 2 C) pm 1 D) +4

Para resolver esse problema, podemos usar a fórmula de separação de variáveis. Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:<br /><br />$y^2 dx - 3x dy = 0$<br /><br />Podemos reescrever essa equação como:<br /><br />$\frac{dy}{dx} = \frac{3x}{y^2}$<br /><br />Agora, vamos separar as variáveis:<br /><br />$\frac{dy}{dx} = \frac{3x}{y^2}$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por $y^2 dx$, obtemos:<br /><br />$y^2 dy = 3x dx$<br /><br />Integrando ambos os lados, temos:<br /><br />$\int y^2 dy = \int 3x dx$<br /><br />$\frac{y^3}{3} = \frac{3x^2}{2} + C$<br /><br />onde $C$ é a constante de integração.<br /><br />Agora, podemos usar a condição inicial $y(e) = 3$ para encontrar o valor de $C$. Substituindo $y = 3$ e $x = e$ na equação acima, temos:<br /><br />$\frac{3^3}{3} = \frac{3e^2}{2} + C$<br /><br />$9 = \frac{3e^2}{2} + C$<br /><br />$C = 9 - \frac{3e^2}{2}$<br /><br />Portanto, os possíveis valores da constante de integração desse problema são $\pm (9 - \frac{3e^2}{2})$. No entanto, nenhuma das opções fornecidas corresponde a esse valor.