int _(1)^2int _(1-x)^sqrt (x)x^2ydydx=(163)/(120)

Para resolver a integral dupla dada, primeiro vamos integrar em relação a \( y \) e depois em relação a \( x \).<br /><br />A integral dupla é dada por:<br /><br />\[<br />\int_{1}^{2} \int_{1-x}^{\sqrt{x}} x^2 y \, dy \, dx<br />\]<br /><br />Primeiro, vamos integrar em relação a \( y \):<br /><br />\[<br />\int_{1-x}^{\sqrt{x}} x^2 y \, dy<br />\]<br /><br />Para isso, vamos usar a fórmula da integral definida:<br /><br />\[<br />\int_{a}^{b} f(y) \, dy = F(b) - F(a)<br />\]<br /><br />onde \( F(y) \) é a função antiderivada de \( f(y) \).<br /><br />Aplicando a fórmula da integral definida, temos:<br /><br />\[<br />\int_{1-x}^{\sqrt{x}} x^2 y \, dy = x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1-x}^{\sqrt{x}}<br />\]<br /><br />Agora, vamos substituir os limites de integração:<br /><br />\[<br />x^2 \left[ \frac{(\sqrt{x})^2}{2} - \frac{(1-x)^2}{2} \right]<br />\]<br /><br />Simplificando a expressão dentro dos colchetes:<br /><br />\[<br />x^2 \left[ \frac{x}{2} - \frac{(1-x)^2}{2} \right]<br />\]<br /><br />Agora, vamos integrar em relação a \( x \):<br /><br />\[<br />\int_{1}^{2} x^2 \left[ \frac{x}{2} - \frac{(1-x)^2}{2} \right] \, dx<br />\]<br /><br />Simplificando a expressão dentro dos colchetes:<br /><br />\[<br />\int_{1}^{2} x^2 \left[ \frac{x}{2} - \frac{1 - 2x + x^2}{2} \right] \, dx<br />\]<br /><br />\[<br />\int_{1}^{2} x^2 \left[ \frac{x - (1 - 2x + x^2)}{2} \right] \, dx<br />\]<br /><br />\[<br />\int_{1}^{2} x^2 \left[ \frac{x - 1 + 2x - x^2}{2} \right] \, dx<br />\]<br /><br />\[<br />\int_{1}^{2} x^2 \left[ \frac{3x - 1 - x^2}{2} \right] \, dx<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x^2 (3x - 1 - x^2) \, dx<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{1}{2} \int_{1}^{2} (3x^3 - x^2 - x^4) \, dx<br />\]<br /><br />Agora, vamos integrar cada termo separadamente:<br /><br />\[<br />\frac{1}{2} \left( \int_{1}^{2} 3x^3 \, dx - \int_{1}^{2} x^2 \, dx - \int_{1}^{2} x^4 \, dx \right)<br />\]<br /><br />Calculando cada integral separadamente:<br /><br />\[<br />\int_{1}^{2} 3x^3 \, dx = 3 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} = 3 \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) = 3 \left( 4 - \frac{1}{4} \right) = 3 \cdot \frac{15}{4} = \frac{45}{4}<br />\]<br /><br />\[<br />\int_{1}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{7}{3}<br />\]<br /><br />\[<br />\int_{1}^{2} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{1}^{2} = \left( \frac{32}{5} - \frac{1}{5} \right) = \frac{31}{5}<br />\]<br /><br />Substituindo esses resultados na expressão original:<br /><br />\[<br />\frac{1}{2} \left( \frac{45}{4} - \frac{7}{3} - \frac{31}{5} \right)<br />\]<br /><br />