2 Usando as propredades de potência, sumplígique as seguintes expressões para um unico radical. [ ( a: )[5^9:(5^2 cdot 5)^3]^-3 ( b: ) (2^n+4)/(4^n)+3 ( c: ) 3^4^(2) cdot(3^4)^6 ( d: ) ((3^-4 cdot 3))/(3^-8) cdot 3^5 ]

Vamos simplificar cada uma das expressões usando as propriedades de potência:

a: $\left[5^{9}:(5^{2} \cdot 5)^{3}\right]^{-3}$

Primeiro, simplificamos o termo dentro dos colchetes:
$$5^{2} \cdot 5 = 5^{2+1} = 5^{3}$$
Então, temos:
$$(5^{3})^{3} = 5^{3 \cdot 3} = 5^{9}$$
Agora, substituímos na expressão original:
$$\left[5^{9} : 5^{9}\right]^{-3} = \left[5^{9-9}\right]^{-3} = \left[5^{0}\right]^{-3} = 1^{-3} = 1$$

b: $\frac{2^{n+4}}{4^{n}+3}$

Podemos reescrever $4^{n}$ como $(2^{2})^{n} = 2^{2n}$:
$$\frac{2^{n+4}}{2^{2n}+3}$$
Não há simplificação adicional possível sem mais informações sobre $n$.

c: $3^{4^{2}} \cdot (3^{4})^{6}$

Primeiro, simplificamos o termo $(3^{4})^{6}$:
$$(3^{4})^{6} = 3^{4 \cdot 6} = 3^{24}$$
Então, temos:
$$3^{4^{2}} \cdot 3^{24} = 3^{16} \cdot 3^{24} = 3^{16+24} = 3^{40}$$

d: $\frac{(3^{-4} \cdot 3)}{3^{-8}} \cdot 3^{5}$

Primeiro, simplificamos o termo $(3^{-4} \cdot 3)$:
$$3^{-4} \cdot 3 = 3^{-4+1} = 3^{-3}$$
Então, temos:
$$\frac{3^{-3}}{3^{-8}} \cdot 3^{5} = 3^{-3 - (-8)} \cdot 3^{5} = 3^{-3 + 8} \cdot 3^{5} = 3^{5} \cdot 3^{5} = 3^{5+5} = 3^{10}$$

Portanto, as expressões simplificadas são:
a: $1$
b: $\frac{2^{n+4}}{2^{2n}+3}$
c: $3^{40}$
d: $3^{10}$