72. Calcule no caderno o discriminante (Delta ) e descubra quantas raizes cada equa- ção tem. Depois , obtenha, se existirem, as raizes de cada uma delas. a) -4x^2+8x+32=0 b) 3x^2-5x=-3 C) (1)/(2)x^2-8=-3x d) (x^2)/(8)-x+2=0 73.Utilizando as relações, determine a so- mas e o produto P das raizes de cada equação. a) x^2+2x-8=0 b) 5x^2+25x-3=0 c) 2x^2+16=0 d) x^2-sqrt (7)=0

Vamos corrigir e detalhar os cálculos para garantir a precisão das respostas.<br /><br />### 72. Discriminante e Raízes<br /><br />Para calcular o discriminante (\(\Delta\)) de uma equação quadrática \(ax^2 + bx + c = 0\), usamos a fórmula:<br />\[<br />\Delta = b^2 - 4ac<br />\]<br /><br />Depois, usamos o discriminante para determinar o número de raízes:<br />- Se \(\Delta > 0\), a equação tem duas raízes reais distintas.<br />- Se \(\Delta = 0\), a equação tem uma raiz real (raiz dupla).<br />- Se \(\Delta < 0\), a equação tem duas raízes complexas.<br /><br />#### a) \(-4x^2 + 8x + 32 = 0\)<br /><br />\[<br />a = -4, \quad b = 8, \quad c = 32<br />\]<br /><br />\[<br />\Delta = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(-4)(32) = 64 + 512 = 576<br />\]<br /><br />\(\Delta > 0\), então a equação tem duas raízes reais distintas.<br /><br />Para encontrar as raízes:<br />\[<br />x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{576}}{2(-4)} = \frac{-8 \pm 24}{-8}<br />\]<br /><br />\[<br />x_1 = \frac{-8 + 24}{-8} = \frac{16}{-8} = -2<br />\]<br /><br />\[<br />x_2 = \frac{-8 - 24}{-8} = \frac{-32}{-8} = 4<br />\]<br /><br />#### b) \(3x^2 - 5x = -3\)<br /><br />Reescrevendo a equação na forma padrão:<br />\[<br />3x^2 - 5x + 3 = 0<br />\]<br /><br />\[<br />a = 3, \quad b = -5, \quad c = 3<br />\]<br /><br />\[<br />\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(3)(3) = 25 - 36 = -11<br />\]<br /><br />\(\Delta < 0\), então a equação tem duas raízes complexas.<br /><br />#### c) \(\frac{1}{2}x^2 - 8 = -3x\)<br /><br />Reescrevendo a equação na forma padrão:<br />\[<br />\frac{1}{2}x^2 + 3x - 8 = 0<br />\]<br /><br />\[<br />a = \frac{1}{2}, \quad b = 3, \quad c = -8<br />\]<br /><br />\[<br />\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4\left(\frac{1}{2}\right)(-8) = 9 + 16 = 25<br />\]<br /><br />\(\Delta > 0\), então a equação tem duas raízes reais distintas.<br /><br />Para encontrar as raízes:<br />\[<br />x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{-3 \pm 5}{1}<br />\]<br /><br />\[<br />x_1 = \frac{-3 + 5}{1} = 2<br />\]<br /><br />\[<br />x_2 = \frac{-3 - 5}{1} = -8<br />\]<br /><br />#### d) \(\frac{x^2}{8} - x + 2 = 0\)<br /><br />\[<br />a = \frac{1}{8}, \quad b = -1, \quad c = 2<br />\]<br /><br />\[<br />\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4\left(\frac{1}{8}\right)(2) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}<br />\]<br /><br />\(\Delta > 0\), então a equação tem duas raízes reais distintas.<br /><br />Para encontrar as raízes:<br />\[<br />x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{\frac{1}{2}}}{2 \cdot \frac{1}{8}} = \frac{1 \pm \sqrt{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{4}} = 4 \pm 2\sqrt{2}<br />\]<br /><br />### 73. Soma e Produto das Raízes<br /><br />Para uma equ