Inicialmente, numa colônia, uma população de bactérias possui 100 bactérias e cresce a uma taxa de P'(t)=30e^1.5t bactérias por hora. Aproximadamente quantas bactérias haverá na colônia em 5 horas? A) 18.310 . B) 24.870 . C) 36.240. D) 40.790 . E) 12 .005.

Para encontrar o número aproximado de bactérias na colônia após 5 horas, precisamos integrar a taxa de crescimento da população de bactérias ao longo do tempo.<br /><br />A taxa de crescimento da população de bactérias é dada por \( P'(t) = 30e^{1.5t} \) bactérias por hora.<br /><br />Para encontrar o número total de bactérias após 5 horas, podemos integrar a taxa de crescimento da população de bactérias de 0 a 5 horas:<br /><br />\[ P(t) = \int_{0}^{5} P'(t) \, dt \]<br /><br />Substituindo a expressão da taxa de crescimento, temos:<br /><br />\[ P(t) = \int_{0}^{5} 30e^{1.5t} \, dt \]<br /><br />Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula da integral de uma função exponencial:<br /><br />\[ \int e^{at} \, dt = \frac{1}{a} e^{at} + C \]<br /><br />Aplicando essa fórmula, temos:<br /><br />\[ P(t) = 30 \cdot \frac{1}{1.5} e^{1.5t} \Big|_{0}^{5} \]<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />\[ P(t) = 20e^{1.5t} \Big|_{0}^{5} \]<br /><br />Substituindo os limites de integração, temos:<br /><br />\[ P(t) = 20e^{1.5 \cdot 5} - 20e^{1.5 \cdot 0} \]<br /><br />Simplificando ainda mais, temos:<br /><br />\[ P(t) = 20e^{7.5} - 20e^{0} \]<br /><br />Sabemos que \( e^{0} = 1 \), então podemos simplificar ainda mais:<br /><br />\[ P(t) = 20e^{7.5} - 20 \]<br /><br />Aproximando \( e^{7.5} \) para 1814.11, temos:<br /><br />\[ P(t) \approx 20 \cdot 1814.11 - 20 \]<br /><br />\[ P(t) \approx 36283.2 - 20 \]<br /><br />\[ P(t) \approx 36263.2 \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção C) 36.240.