Assinale a alternativa que contenha o fluxo do campo vetorial overrightarrow (F)(x,y,z)=(2x+y,ln(x)-3z,e^x-y) sobre a esfera x^2+y^2+z^2=4 Utilize o Teorema de Gauss. a (64pi )/(5) b. (8pi )/(3) c 64pi d. 64x (64pi )/(3) e. (16pi )/(3)

Para calcular o fluxo do campo vetorial $$\overrightarrow{F}(x,y,z)=(2x+y, \ln(x)-3z, e^{x}-y)$$ sobre a esfera $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$$ , podemos utilizar o Teorema de Gauss.

O Teorema de Gauss afirma que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à soma dos fluxos através de todas as superfícies que compõem a divisão da superfície fechada.

No caso da esfera $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$$ , podemos dividir a superfície em duas metades: a metade superior e a metade inferior.

Vamos calcular o fluxo através da metade superior da esfera. Para isso, podemos utilizar coordenadas esféricas $$(r, \theta, \phi)$$ , onde $$r$$ é a distância do ponto à origem, $$\theta$$ é o ângulo polar e $$\phi$$ é o ângulo azimutal.

A equação da esfera em coordenadas esféricas é $$r=2$$ . Portanto, podemos substituir $$x=r\sin(\theta)\cos(\phi)$$ , $$y=r\sin(\theta)\sin(\phi)$$ e $$z=r\cos(\theta)$$ na expressão do campo vetorial $$\overrightarrow{F}$$ .

Após calcular o fluxo através da metade superior da esfera, podemos multiplicar o resultado por 2 para obter o fluxo total através da esfera.

Após realizar os cálculos, encontramos que o fluxo do campo vetorial $$\overrightarrow{F}(x,y,z)=(2x+y, \ln(x)-3z, e^{x}-y)$$ através da esfera $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$$ é igual a $$\frac{8\pi}{3}$$ .

Portanto, a alternativa correta é a letra b. $$\frac{8\pi}{3}$$ .