A demanda de um produto quimico no mercado é de D toneladas quando o preço por tonelada é igual a p fem milhares de reais). Neste preço, o fabricante desse produto oferece F toneladas ao mercado. Estudos econômicos do setor quimico indicam que DeF variam em função de p, de acordo com as seguintes funções: D(p)=(3p^2-21p)/(4-2p) e F(p)=(5p-10)/(3) Admitindo-se pgt 1 e sabendo que sqrt (7569)=87 determine o valor de p para o qual a oferta é igual a demanda desse produto Em seguida, e ainda admitindo -se pgt 1, determine o intervalo real de variação de p para o qual a demanda D(p) do produto é positiva.

Para determinar o valor de p para o qual a oferta é igual à demanda desse produto, precisamos igualar as funções D(p) e F(p) e resolver a equação resultante.<br /><br />Igualando as funções, temos:<br /><br />$\frac {3p^{2}-21p}{4-2p} = \frac {5p-10}{3}$<br /><br />Para resolver essa equação, podemos multiplicar ambos os lados por 3(4-2p) para eliminar o denominador:<br /><br />$3(4-2p)\left(\frac {3p^{2}-21p}{4-2p}\right) = 3(4-2p)\left(\frac {5p-10}{3}\right)$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$3(3p^{2}-21p) = (5p-10)(4-2p)$<br /><br />Expansindo e simplificando, temos:<br /><br />$9p^{2}-63p = 20p-50-10p+20p$<br /><br />$9p^{2}-63p = 30p-50$<br /><br />Rearranjando a equação, temos:<br /><br />$9p^{2}-63p-30p+50 = 0$<br /><br />$9p^{2}-93p+50 = 0$<br /><br />Podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br />$p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$<br /><br />Onde a = 9, b = -93 e c = 50.<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />$p = \frac{93 \pm \sqrt{(-93)^2-4(9)(50)}}{2(9)}$<br /><br />$p = \frac{93 \pm \sqrt{8649-1800}}{18}$<br /><br />$p = \frac{93 \pm \sqrt{6849}}{18}$<br /><br />$p = \frac{93 \pm 3\sqrt{7569}}{18}$<br /><br />$p = \frac{93 \pm 3(87)}{18}$<br /><br />$p = \frac{93 \pm 261}{18}$<br /><br />$p = \frac{354}{18}$ ou $p = \frac{-168}{18}$<br /><br />$p = 19,67$ ou $p = -9,33$<br /><br />Como o preço não pode ser negativo, descartamos o valor negativo. Portanto, o valor de p para o qual a oferta é igual à demanda desse produto é aproximadamente 19,67 mil reais.<br /><br />Para determinar o intervalo real de variação de p para o qual a demanda D(p) do produto é positiva, precisamos analisar o comportamento da função D(p) em relação a p.<br /><br />A função D(p) é uma função racional, onde o numerador é um polinômio de grau 2 e o denominador é um polinômio de grau 1. Para que a função seja positiva, o numerador deve ter o mesmo sinal que o denominador.<br /><br />Analisando o denominador, temos:<br /><br />$4-2p$<br /><br />Para que o denominador seja positivo, devemos ter $4-2p > 0$, ou seja, $p < 2$.<br /><br />Analisando o numerador, temos:<br /><br />$3p^{2}-21p$<br /><br />Para que o numerador seja positivo, devemos ter $3p^{2}-21p > 0$, ou seja, $p > 7$.<br /><br />Portanto, a demanda D(p) do produto é positiva para valores de p maiores que 7 e menores que 2. Em outras palavras, o intervalo real de variação de p para o qual a demanda é positiva é $(7, 2)$.