Seja a função de variável complexa f(z)=(2)/(e^2z)-1 e C:vert zvert =2 , Calcule: a) a singularid ade de f: b) a singulari lade de f pertence a C? c)calcule o resíduo de f em C: d)calcule int _(-infty )^+infty f(z)dz em C

Vamos corrigir e detalhar cada parte da questão:<br /><br />### a) A singularidade de \( f \)<br /><br />Para encontrar as singularidades da função \( f(z) = \frac{2}{e^{2z} - 1} \), precisamos identificar os valores de \( z \) que fazem o denominador ser zero:<br /><br />\[ e^{2z} - 1 = 0 \]<br />\[ e^{2z} = 1 \]<br />\[ 2z = 0 \]<br />\[ z = 0 \]<br /><br />Portanto, a função \( f(z) \) tem uma singularidade em \( z = 0 \).<br /><br />### b) A singularidade de \( f \) pertence a \( C \)?<br /><br />O círculo \( C \) é definido por \( |z| = 2 \). A singularidade \( z = 0 \) está dentro desse círculo, pois \( |0| = 0 < 2 \). Portanto, a singularidade de \( f \) pertence ao círculo \( C \).<br /><br />### c) Calcular o resíduo de \( f \) em \( C \)<br /><br />Para calcular o resíduo de \( f(z) \) em \( z = 0 \), usamos a fórmula do resíduo:<br /><br />\[ \text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z) \]<br /><br />Substituindo \( z_0 = 0 \):<br /><br />\[ \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{2}{e^{2z} - 1} \]<br /><br />Para calcular esse limite, podemos usar a série de Taylor para \( e^{2z} \) em torno de \( z = 0 \):<br /><br />\[ e^{2z} = 1 + 2z + 2z^2 + 2z^3 + \ldots \]<br /><br />Substituindo na expressão do resíduo:<br /><br />\[ \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{2}{(1 + 2z + 2z^2 + 2z^3 + \ldots) - 1} \]<br />\[ = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{2}{2z + 2z^2 + 2z^3 + \ldots} \]<br />\[ = \lim_{z \to 0} \frac{2z}{2z(1 + z + z^2 + z^3 + \ldots)} \]<br />\[ = \lim_{z \to 0} \frac{2}{2(1 + z + z^2 + z^3 + \ldots)} \]<br />\[ = \lim_{z \to 0} \frac{1}{1 + z + z^2 + z^3 + \ldots} \]<br />\[ = \frac{1}{1 + 0 + 0 + 0 + \ldots} \]<br />\[ = 1 \]<br /><br />Portanto, o resíduo de \( f \) em \( z = 0 \) é \( 1 \).<br /><br />### d) Calcular a integral \( \int_{-\infty}^{+\infty} f(z) \, dz \) em \( C \)<br /><br />Para calcular essa integral, precisamos considerar a singularidade em \( z = 0 \). A integral pode ser expressa como:<br /><br />\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2}{e^{2z} - 1} \, dz \]<br /><br />Podemos usar a forma de integral de residuo para calcular essa integral ao redor da singularidade:<br /><br />\[ \oint_C \frac{2}{e^{2z} - 1} \, dz \]<br /><br />onde \( C \) é um círculo contendo a singularidade \( z = 0 \) e que pode ser fechado no sentido positivo. Usando a fórmula do resíduo:<br /><br />\[ \oint_C \frac{2}{e^{2z} - 1} \, dz = 2 \cdot \text{Res}(f, 0) \]<br /><br />Já calculamos o resíduo como \( 1 \):<br /><br />\[ 2 \cdot 1 = 2 \]<br /><br />Portanto, a integral \( \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2}{e^{2z} - 1} \, dz \) é \( 2 \).