3-Considere os vetores u=(2,-5)u=(2,-5) e v=(3,1)v=(3,1) Verifique que os vetores uu e W são Linearmente Independentes (LI) escreva 0 vetor w=(-1,2)w=(-1,2) como combinação linear de uu e vv.

Para verificar se os vetores \( u \) e \( v \) são linearmente independentes, precisamos verificar se a única solução para a equação \( au + bv = 0 \) é \( a = b = 0 \), onde \( a \) e \( b \) são escalares.<br /><br />Dado que \( u = (2, -5) \) e \( v = (3, 1) \), vamos escrever a equação \( au + bv = 0 \) em termos de componentes:<br /><br />\[ a(2) + b(3) = 0 \]<br />\[ -5a + b(1) = 0 \]<br /><br />Resolvendo o sistema de equações:<br /><br />\[ 2a + 3b = 0 \]<br />\[ -5a + b = 0 \]<br /><br />Multiplicando a segunda equação por 3, temos:<br /><br />\[ -15a + 3b = 0 \]<br /><br />Somando as duas equações:<br /><br />\[ 2a + 3b = 0 \]<br />\[ -15a + 3b = 0 \]<br /><br />\[ 2a - 15a = 0 \]<br />\[ -13a = 0 \]<br />\[ a = 0 \]<br /><br />Substituindo \( a = 0 \) na primeira equação:<br /><br />\[ 2(0) + 3b = 0 \]<br />\[ 3b = 0 \]<br />\[ b = 0 \]<br /><br />Portanto, a única solução é \( a = b = 0 \), o que implica que os vetores \( u \) e \( v \) são linearmente independentes.<br /><br />Agora, para escrever o vetor \( w = (-1, 2) \) como combinação linear de \( u \) e \( v \), precisamos encontrar os escalares \( a \) e \( b \) tais que:<br /><br />\[ au + bv = (-1, 2) \]<br /><br />Substituindo \( u = (2, -5) \) e \( v = (3, 1) \):<br /><br />\[ a(2) + b(3) = -1 \]<br />\[ -5a + b(1) = 2 \]<br /><br />Resolvendo o sistema de equações:<br /><br />\[ 2a + 3b = -1 \]<br />\[ -5a + b = 2 \]<br /><br />Multiplicando a segunda equação por 3, temos:<br /><br />\[ -15a + 3b = 6 \]<br /><br />Somando as duas equações:<br /><br />\[ 2a + 3b = -1 \]<br />\[ -15a + 3b = 6 \]<br /><br />\[ 2a - 15a = -1 + 6 \]<br />\[ -13a = 5 \]<br />\[ a = -\frac{5}{13} \]<br /><br />Substituindo \( a = -\frac{5}{13} \) na primeira equação:<br /><br />\[ 2\left(-\frac{5}{13}\right) + 3b = -1 \]<br />\[ -\frac{10}{13} + 3b = -1 \]<br />\[ 3b = -1 + \frac{10}{13} \]<br />\[ 3b = -\frac{3}{13} \]<br />\[ b = -\frac{1}{13} \]<br /><br />Portanto, o vetor \( w = (-1, 2) \) pode ser escrito como:<br /><br />\[ w = -\frac{5}{13}u - \frac{1}{13}v \]