Polinômios são considerados funções bastante simples, mas possuem propriedades bastante interessantes. São bem definidos, continuos e deriváveis em toda a reta, e existem séries de polinômios que podem aproximar a maior parte das funçōes reais Assinale a alternativa que apresenta o polinômio de Taylor de ordem 2 utilizado para aproximar a função f(x)=e^kx para algum x, utilizando como referência o ponto a a. T(x)=e^ma+ne^ma(x-a)+(1)/(2)n^2e^ma(x-a)^2 b. T(x)=e^a+ne^a(x-a)+(1)/(2)n^2e^a(x-a)^2 C. T(x)=c^mx+ne^m(x-a)+(1)/(2)n^2e^mx(x-a)^2 d. T(x)=ne^a(x-a)+(1)/(2)n^2e^a(x-a)^2 e. T(x)=n^3e^m-+n^2e^-1(x-a)+(1)/(2)n^2e^a(x-a)^2

Peço desculpas pelo erro anterior. Vamos corrigir a resposta.<br /><br />Para encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função \( f(x) = e^{kx} \) em torno do ponto \( a \), precisamos calcular as derivadas de \( f(x) \) em \( x = a \) e usar essas derivadas para construir o polinômio.<br /><br />1. Primeira derivada de \( f(x) \):<br />\[ f'(x) = \frac{d}{dx} e^{kx} = ke^{kx} \]<br /><br />2. Segunda derivada de \( f(x) \):<br />\[ f''(x) = \frac{d}{dx} (ke^{kx}) = k^2 e^{kx} \]<br /><br />Agora, substituímos \( x = a \) para obter os valores das derivadas em \( a \):<br /><br />\[ f(a) = e^{ka} \]<br />\[ f'(a) = ke^{ka} \]<br />\[ f''(a) = k^2 e^{ka} \]<br /><br />O polinômio de Taylor de ordem 2 para \( f(x) \) em torno de \( a \) é dado por:<br /><br />\[ T(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 \]<br /><br />Substituindo os valores das derivadas em \( a \):<br /><br />\[ T(x) = e^{ka} + ke^{ka}(x - a) + \frac{k^2 e^{ka}}{2}(x - a)^2 \]<br /><br />Portanto, a alternativa correta é:<br /><br />a. \( T(x) = e^{ka} + ne^{ka}(x - a) + \frac{1}{2}n^2 e^{ka}(x - a)^2 \)<br /><br />onde \( n = k \).