21 lim _(xarrow +infty )x^3sen(1)/(x)[ln(x^2+1)-ln(x^2+3)]

Para resolver essa expressão, podemos usar a propriedade dos limites que diz que o limite de uma função multiplicada por uma constante é igual ao limite da função multiplicado pela constante.<br /><br />Começamos simplificando a expressão dentro dos colchetes:<br /><br />$\ln(x^{2}+1) - \ln(x^{2}+3) = \ln\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}+3}\right)$<br /><br />Agora, podemos reescrever a expressão original como:<br /><br />$x^{3} \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \ln\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}+3}\right)$<br /><br />Quando $x$ tende ao infinito, $\frac{1}{x}$ tende a zero. Portanto, podemos usar a aproximação de Taylor para $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ em torno de zero:<br /><br />$\sin\left(\frac{1}{x}\right) \approx \frac{1}{x}$<br /><br />Substituindo isso na expressão, temos:<br /><br />$x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot \ln\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}+3}\right) = x^{2} \cdot \ln\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}+3}\right)$<br /><br />Quando $x$ tende ao infinito, $\frac{x^{2}+1}{x^{2}+3}$ tende a 1. Portanto, $\ln\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}+3}\right)$ tende a $\ln(1) = 0$.<br /><br />Assim, o limite da expressão é:<br /><br />$\lim_{x\rightarrow +\infty} x^{2} \cdot \ln\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}+3}\right) = \lim_{x\rightarrow +\infty} x^{2} \cdot 0 = 0$<br /><br />Portanto, a resposta correta é 0.