CALCULE A DERIVADA DIRECIONAL DA funçās [ f(x, y)=x^10-y^3 a=(1,-1) u=(1,0) ]

Para calcular a derivada direcional da função \( f(x, y) = x^{10} - y^{3} \) na direção do vetor \( u = (1, 0) \) no ponto \( a = (1, -1) \), podemos usar a fórmula da derivada direcional:<br /><br />\[<br />D_u f(a) = \nabla f(a) \cdot \frac{u}{\|u\|}<br />\]<br /><br />Onde \( \nabla f(a) \) é o gradiente de \( f \) no ponto \( a \), \( u \) é o vetor de direção e \( \|u\| \) é a norma do vetor \( u \).<br /><br />Primeiro, vamos calcular o gradiente de \( f \):<br /><br />\[<br />\nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (10x^9, -3y^2)<br />\]<br /><br />Avaliando no ponto \( a = (1, -1) \):<br /><br />\[<br />\nabla f(1, -1) = (10 \cdot 1^9, -3 \cdot (-1)^2) = (10, -3)<br />\]<br /><br />Agora, vamos calcular a norma do vetor \( u = (1, 0) \):<br /><br />\[<br />\|u\| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1<br />\]<br /><br />Finalmente, podemos calcular a derivada direcional:<br /><br />\[<br />D_u f(a) = \nabla f(a) \cdot \frac{u}{\|u\|} = (10, -3) \cdot \frac{(1, 0)}{1} = (10, -3) \cdot (1, 0) = 10<br />\]<br /><br />Portanto, a derivada direcional da função \( f(x, y) = x^{10} - y^{3} \) na direção do vetor \( u = (1, 0) \) no ponto \( a = (1, -1) \) é igual a 10.