QUESTAO 01 S=vert c_(1)=(1,1,1),x_(1)=ax,c_(1),x_(n)+(1,a,0) uma base para R'e Tintan a transformaglo linear tal que Tindinit. or The is (2-11.700):014 Encontrem a transformaçlo Unear 1

Para encontrar a transformação linear \( T \) dada pela matriz \( A \), precisamos primeiro entender a notação e a estrutura da matriz fornecida. Parece que a matriz \( A \) é representada como:<br /><br />\[ A = \begin{pmatrix}<br />1 & 1 & 1 \\<br />a & c_1 & x_n \\<br />1 & a & 0<br />\end{pmatrix} \]<br /><br />No entanto, a notação está um pouco confusa. Vamos tentar reescrever isso de forma mais clara. Suponha que a matriz \( A \) seja:<br /><br />\[ A = \begin{pmatrix}<br />1 & 1 & 1 \\<br />a & c_1 & x_n \\<br />1 & a & 0<br />\end{pmatrix} \]<br /><br />Para encontrar a transformação linear \( T \) representada por essa matriz, precisamos identificar os vetores coluna da matriz \( A \) que correspondem aos vetores de uma base para o espaço \( R^n \).<br /><br />Vamos considerar que \( c_1 \) e \( x_n \) são vetores específicos e \( a \) é um escalar. Vamos tentar identificar os vetores coluna:<br /><br />1. Primeiro vetor coluna: \( (1, 1, 1) \)<br />2. Segundo vetor coluna: \( (a, c_1, x_n) \)<br />3. Terceiro vetor coluna: \( (1, a, 0) \)<br /><br />Para que esses vetores formem uma base para \( R^3 \), eles devem ser linearmente independentes. Vamos verificar isso:<br /><br />1. O primeiro vetor \( (1, 1, 1) \) não pode ser zero.<br />2. O segundo vetor \( (a, c_1, x_n) \) deve ser linearmente independente do primeiro vetor.<br />3. O terceiro vetor \( (1, a, 0) \) deve ser linearmente independente dos outros dois vetores.<br /><br />Para que esses vetores sejam linearmente independentes, a matriz \( A \) deve ter uma determinação não nula. Vamos calcular o determinante da matriz \( A \):<br /><br />\[ \text{det}(A) = \begin{vmatrix}<br />1 & 1 & 1 \\<br />a & c_1 & x_n \\<br />1 & a & 0<br />\end{vmatrix} \]<br /><br />Calculando o determinante:<br /><br />\[ \text{det}(A) = 1 \cdot (c_1 \cdot 0 - x_n \cdot a) - 1 \cdot (a \cdot 0 - x_n \cdot 1) + 1 \cdot (a \cdot c_1 - 1 \cdot a) \]<br />\[ = 1 \cdot (0 - ax_n) - 1 \cdot (0 - x_n) + 1 \cdot (ac_1 - a) \]<br />\[ = -ax_n + x_n + ac_1 - a \]<br />\[ = x_n(1 - a) + ac_1 - a \]<br /><br />Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:<br /><br />\[ x_n(1 - a) + ac_1 - a \neq 0 \]<br /><br />Se essa condição for satisfeita, os vetores formarão uma base para \( R^3 \) e a transformação linear \( T \) pode ser representada pela matriz \( A \).<br /><br />Portanto, a transformação linear \( T \) é representada pela matriz \( A \):<br /><br />\[ T(\vec{v}) = A \vec{v} \]<br /><br />onde \( \vec{v} \) é um vetor no espaço \( R^3 \).