(b) int _(1)^2int _(1)^2ye^xydxdy Resp. : (e^4)/(2)-(3)/(2)e^2+e

Para resolver a integral dupla \(\int_{1}^{2} \int_{1}^{2} ye^{xy} \, dx \, dy\), vamos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Integral interna em relação a \(x\):**<br /><br /> \[<br /> \int_{1}^{2} ye^{xy} \, dx<br /> \]<br /><br /> Para isso, podemos usar a substituição. Seja \(u = xy\). Então, \(du = y \, dx\), ou seja, \(dx = \frac{du}{y}\).<br /><br /> Substituindo na integral, temos:<br /><br /> \[<br /> \int_{1}^{2} ye^{xy} \, dx = \int_{1}^{2} e^u \, du<br /> \]<br /><br /> Agora, integramos \(e^u\) em relação a \(u\):<br /><br /> \[<br /> \int e^u \, du = e^u<br /> \]<br /><br /> Substituindo de volta \(u = xy\), temos:<br /><br /> \[<br /> e^{xy} \Bigg|_{1}^{2}<br /> \]<br /><br /> Calculando os limites de \(x\) de 1 a 2:<br /><br /> \[<br /> e^{2y} - e^y \quad \text{para} \quad y \in [1, 2]<br /> \]<br /><br />2. **Integral externa em relação a \(y\):**<br /><br /> Agora, integramos a função resultante em relação a \(y\):<br /><br /> \[<br /> \int_{1}^{2} \left( e^{2y} - e^y \right) \, dy<br /> \]<br /><br /> Podemos separar a integral em duas partes:<br /><br /> \[<br /> \int_{1}^{2} e^{2y} \, dy - \int_{1}^{2} e^y \, dy<br /> \]<br /><br /> Para a primeira integral, usamos novamente a substituição. Seja \(v = 2y\). Então, \(dv = 2 \, dy\), ou seja, \(dy = \frac{dv}{2}\).<br /><br /> Substituindo na integral, temos:<br /><br /> \[<br /> \int_{1}^{2} e^{2y} \, dy = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} e^v \, dv<br /> \]<br /><br /> Agora, integramos \(e^v\) em relação a \(v\):<br /><br /> \[<br /> \frac{1}{2} e^v \Bigg|_{2}^{4} = \frac{1}{2} \left( e^4 - e^2 \right)<br /> \]<br /><br /> Para a segunda integral, usamos novamente a substituição. Seja \(v = y\). Então, \(dv = dy\).<br /><br /> Substituindo na integral, temos:<br /><br /> \[<br /> \int_{1}^{2} e^y \, dy = e^v \Bigg|_{1}^{2} = e^2 - e<br /> \]<br /><br /> Agora, somamos as duas partes:<br /><br /> \[<br /> \frac{1}{2} \left( e^4 - e^2 \right) - (e^2 - e)<br /> \]<br /><br /> Simplificando, temos:<br /><br /> \[<br /> \frac{1}{2} e^4 - \frac{1}{2} e^2 - e^2 + e = \frac{1}{2} e^4 - \frac{3}{2} e^2 + e<br /> \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />\[<br />\boxed{\frac{e^4}{2} - \frac{3}{2} e^2 + e}<br />\]