23) Considere a P.G.finita (2/9,2/3,ldots ,486) Determine a soma de seus termos.

Para determinar a soma dos termos de uma progressão geométrica (P.G.) finita, podemos usar a fórmula da soma dos termos de uma P.G. finita:<br /><br />$S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}$<br /><br />Onde:<br />- $S_n$ é a soma dos primeiros $n$ termos da P.G.<br />- $a_1$ é o primeiro termo da P.G.<br />- $r$ é a razão da P.G.<br />- $n$ é o número de termos que queremos somar.<br /><br />No caso da P.G. dada $(2/9, 2/3, \ldots, 486)$, podemos observar que o primeiro termo é $a_1 = \frac{2}{9}$ e a razão é $r = \frac{2/3}{2/9} = \frac{3}{2}$.<br /><br />Para determinar o número de termos, podemos usar a fórmula do termo geral de uma P.G.:<br /><br />$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$<br /><br />Onde:<br />- $a_n$ é o termo geral da P.G.<br />- $a_1$ é o primeiro termo da P.G.<br />- $r$ é a razão da P.G.<br />- $n$ é a posição do termo que queremos encontrar.<br /><br />No caso da P.G. dada, queremos encontrar o número de termos até o último termo, que é 486. Substituindo os valores conhecidos na fórmula do termo geral, temos:<br /><br />$486 = \frac{2}{9} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{(n-1)}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$486 = \frac{2}{9} \cdot \frac{3^{(n-1)}}{2}$<br /><br />$486 = \frac{3^{(n-1)}}{9}$<br /><br />$486 = 3^{(n-1)} \cdot \frac{1}{9}$<br /><br />$486 = 3^{(n-1)} \cdot 3^{-2}$<br /><br />$486 = 3^{(n-1-2)}$<br /><br />$486 = 3^{(n-3)}$<br /><br />Agora, podemos usar a fórmula da soma dos termos de uma P.G. finita para calcular a soma dos termos:<br /><br />$S_n = \frac{\frac{2}{9} \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^n - 1\right)}{\frac{3}{2} - 1}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$S_n = \frac{2}{9} \cdot \frac{\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n - 1\right)}{\frac{1}{2}}$<br /><br />$S_n = \frac{2}{9} \cdot 2 \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^n - 1\right)$<br /><br />$S_n = \frac{4}{9} \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^n - 1\right)$<br /><br />Agora, podemos substituir o valor de $n$ encontrado anteriormente para calcular a soma dos termos:<br /><br />$S_n = \frac{4}{9} \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{(n-3)} - 1\right)$<br /><br />Portanto, a soma dos termos da P.G. finita $(2/9, 2/3, \ldots, 486)$ é $\frac{4}{9} \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{(n-3)} - 1\right)$, onde $n$ é o número de termos que queremos somar.