Dada a função a seguir: f(x)=18x+3x^2-4x^3 Encontre seus pontos criticos classifique-os e assinale a alternativa correta: a. x=3/2 é um ponto de mínimo relativo. b. x=-1 é um ponto de mínimo relativo, e x=3/2 é um ponto de máximo relativo. C. x=-1 é um ponto de máximo relativo, e x=3/2 é um ponto de mínimo relativo. d. x=-1 é um ponto de máximo relativo e. x=-1 e x=3/2 são pontos de mínimos relativos.

Para encontrar os pontos críticos da função, precisamos calcular a derivada da função e igualá-la a zero.<br /><br />Derivando a função $f(x)=18x+3x^{2}-4x^{3}$ em relação a $x$, obtemos:<br /><br />$f'(x)=18+6x-12x^{2}$<br /><br />Igualando a derivada a zero, temos:<br /><br />$18+6x-12x^{2}=0$<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$12x^{2}-6x-18=0$<br /><br />Dividindo por 6, temos:<br /><br />$2x^{2}-x-3=0$<br /><br />Fatorando a equação, temos:<br /><br />$(2x+1)(x-3)=0$<br /><br />Portanto, os pontos críticos são $x=-1/2$ e $x=3/2$.<br /><br />Para classificar esses pontos, podemos calcular a segunda derivada da função:<br /><br />$f''(x)=6-24x$<br /><br />Substituindo $x=-1/2$ na segunda derivada, temos:<br /><br />$f''(-1/2)=6-24(-1/2)=18$<br /><br />Como a segunda derivada é positiva, concluímos que $x=-1/2$ é um ponto de mínimo relativo.<br /><br />Substituindo $x=3/2$ na segunda derivada, temos:<br /><br />$f''(3/2)=6-24(3/2)=-36$<br /><br />Como a segunda derivada é negativa, concluímos que $x=3/2$ é um ponto de máximo relativo.<br /><br />Portanto, a alternativa correta é:<br /><br />b. $x=-1$ é um ponto de mínimo relativo, e $x=3/2$ é um ponto de máximo relativo.